Angeordnete Gruppe

In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung „${\displaystyle <}$“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe. Eine links-invariante Anordnung auf ${\displaystyle G}$ ist eine totale Ordnung, so dass für alle ${\displaystyle a,b,c\in G}$ gilt:

${\displaystyle a<b\Longleftrightarrow ca<cb}$.

Eine angeordnete Gruppe ist eine Gruppe mit einer links-invarianten Ordnung.

Äquivalent kann man eine links-invariante Ordnung charakterisieren durch eine disjunkte Zerlegung

${\displaystyle G=P\cup N\cup \left\{Id\right\}}$

mit ${\displaystyle P\cdot P\subset P}$ und ${\displaystyle P^{-1}=N}$.

Die Anordnung ergibt sich aus der Zerlegung via

${\displaystyle a<b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in P}$.

Beispiele

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sind angeordnete Gruppen.
• Wenn es in einer Gruppe Torsionselemente (d. h. Elemente endlicher Ordnung) gibt, dann kann die Gruppe keine links-invariante Anordnung haben.
• Jede torsionsfreie abelsche Gruppe ist eine angeordnete Gruppe.
• Freie Gruppen sind angeordnet.
• ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right])}$ besitzen keine links-invariante Anordnung.
• Satz von Dehornoy: Zopfgruppen sind angeordnet.
• Satz von Rourke-Wiest: Abbildungsklassengruppen von Flächen mit nichtleerem Rand sind angeordnet.
• Satz von Boyer-Rolfsen-Wiest: Fundamentalgruppen ${\displaystyle \pi _{1}M}$ von kompakten, ${\displaystyle P^{2}}$-irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle b_{1}(M)>0}$ sind angeordnet.
• Wenn ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle H}$ angeordnete Gruppen sind und

${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0}$

eine kurze exakte Sequenz ist, dann besitzt ${\displaystyle G}$ eine links-invariante Anordnung, die mit der von ${\displaystyle K}$ kompatibel ist und für die die Abbildung ${\displaystyle G\rightarrow H}$ monoton ist.

• Satz von Burns-Hale: Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ besitzt eine links-invariante Anordnung, wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ einen surjektiven Homomorphismus ${\displaystyle \phi :H\rightarrow L_{H}}$ auf eine angeordnete Gruppe ${\displaystyle L_{H}\not =1}$ gibt. Insbesondere besitzt ${\displaystyle G}$ eine links-invariante Anordnung, wenn für jede endlich erzeugte Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ gilt: ${\displaystyle H^{1}(H,\mathbb {Z} )\not =0}$.
• Die universelle Überlagerung von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ ist eine angeordnete Gruppe, obwohl ${\displaystyle H^{1}(H,\mathbb {Z} )=0}$ für alle ihre endlich erzeugten Untergruppen ${\displaystyle H}$ gilt.
• Eine abzählbare Gruppe besitzt eine links-invariante Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von ${\displaystyle Homeo^{+}(\mathbb {R} )}$, der Gruppe der orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, ist.
• Satz von Hölder: Eine Gruppe besitzt eine links-invariante archimedische Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist.

Bi-invariante Anordnungen

Eine rechts-invariante Anordnung auf einer Gruppe ${\displaystyle G}$ ist eine totale Ordnung, so dass für alle ${\displaystyle a,b,c\in G}$ gilt:

${\displaystyle a<b\Longleftrightarrow ac<bc}$.

Jede angeordnete Gruppe besitzt auch eine rechts-invariante Anordnung, die aber im Allgemeinen nicht mit der links-invarianten Anordnung übereinstimmt.

Eine bi-invariante Anordnung ist eine Anordnung, die gleichzeitig links- und rechts-invariant ist. Zum Beispiel besitzen torsionsfreie abelsche Gruppen oder die reine Zopfgruppe eine bi-invariante Anordnung.

Siehe auch

• Geordnete abelsche Gruppe

Literatur

• Robert G. Burns, V. W. D. Hale: A note on group rings of certain torsion-free groups. In: Canadian Mathematical Bulletin. Bd. 15, Nr. 3, 1972, S. 441–445, doi:10.4153/CMB-1972-080-3.
• Danny Calegari: Circular groups, planar groups, and the Euler class. In: Cameron Gordon, Yoav Rieck (Hrsg.): Proceedings of the Casson Fest (Arkansas and Texas 2003) (= Geometry & Topology Monographs. Bd. 7, ISSN 1464-8989). University of Warwick – Mathematics Institute, Coventry 2004, S. 431–491, doi:10.2140/gtm.2004.7.431.
• Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov, Dale Rolfsen, Bert Wiest: Why are braids orderable? (= Panoramas et Synthèses. Bd. 14). Société Mathématique de France, Paris 2002, ISBN 2-85629-135-X.

Weblinks

• Clay, Rolfsen: Ordered groups and topology
• Deroin, Neves, Rivas: Groups, Orders and Dynamics