Loading AI tools
Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhängigkeit eine Eigenschaft von Elementen einer transzendenten Körpererweiterung, welche besagt, dass diese Elemente keine nichttriviale Polynomgleichung mit Koeffizienten im Grundkörper erfüllen.
Seien eine Körpererweiterung und Elemente von . Gibt es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom in Variablen und Koeffizienten in , d. h. , so dass
dann heißen algebraisch abhängig. Existiert kein solches Polynom, dann heißen die Elemente algebraisch unabhängig.[1]
Dieser Begriff kann auf unendliche Teilmengen von erweitert werden, indem man eine Menge algebraisch abhängig nennt, wenn sie eine algebraisch abhängige endliche Teilmenge hat.
Ähnlich zum in Vektorräumen verwendeten Konzept der Linearkombination (lineares homogenes Polynom), welches den Begriff der linearen Unabhängigkeit liefert, betrachtet man manchmal bei Körpererweiterungen algebraische Kombinationen transzendenter Elemente, d. h. beliebige (gebrochenrationale) Polynome mit Koeffizienten im Grundkörper.
Ein maximales System algebraisch unabhängiger Elemente heißt Transzendenzbasis, ihre Mächtigkeit heißt Transzendenzgrad der Erweiterung.
Ist eine Körpererweiterung, so ist ein Element aus genau dann über dem Körper algebraisch abhängig, wenn es ein algebraisches Element über ist, denn nach Definition ist es genau dann Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus . Damit ist ein Element aus genau dann algebraisch unabhängig über , wenn es ein transzendentes Element über ist.
Beispiele von komplexen Zahlen, die über algebraisch unabhängig sind, sind schwerer zu finden, obwohl es bewiesenermaßen unendlich viele (genauer: kontinuum-viele) über algebraisch unabhängige komplexe Zahlen gibt. Man vermutet aber, dass und es sind. Leicht ist es dagegen, Beispiele in anderen Körpern zu finden:
Es ist nicht bekannt, ob und algebraisch unabhängig sind. 1996 bewies jedoch Juri Walentinowitsch Nesterenko, dass:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.