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Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Das duale Konzept zu einem Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eine Linearform zuordnet, eine solche Abbildung wird pfaffsche Form genannt.
Stetige Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der physikalischen Feldtheorie, zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchens einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder um die Stärke und Richtung einer Kraft, wie der magnetischen oder der Schwerkraft, zu beschreiben. Die Feldgrößen dieser Vektorfelder lassen sich durch Feldlinien veranschaulichen.
Unter einem Vektorfeld auf einer Menge versteht man eine Abbildung, die jedem Punkt einen Vektor zuordnet. Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge ein „Pfeil angebracht“. Meist wird stillschweigend vorausgesetzt, dass das Vektorfeld glatt, also eine -Abbildung ist. Ist eine -mal differenzierbare Abbildung , so spricht man von einem -Vektorfeld.
Ein mindestens zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld im heißt quellenfrei (beziehungsweise wirbelfrei), wenn seine Quellendichte (Divergenz) beziehungsweise Wirbeldichte (Rotation) dort überall Null ist. Unter der weiteren Voraussetzung, dass die Komponenten von im Unendlichen hinreichend rasch verschwinden, gilt der sogenannte Zerlegungssatz: Jedes Vektorfeld ist eindeutig durch seine Quellen bzw. Wirbel bestimmt, und zwar gilt die folgende Zerlegung in einen wirbelfreien beziehungsweise quellenfreien Anteil:
Dies entspricht der Zerlegung eines statischen elektromagnetischen Feldes in den elektrischen beziehungsweise magnetischen Anteil (siehe Elektrodynamik)[1]. Es sind also genau die Gradientenfelder (d. h. die „elektrischen Feldkomponenten“) wirbelfrei bzw. genau die Wirbelfelder (d. h. die „magnetischen Feldkomponenten“) quellenfrei. Dabei sind und die bekannten, mit dem Nabla-Operator () der Vektoranalysis gebildeten Operationen.
Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld ist ein (glatter) Schnitt im Tangentialbündel .
Ausführlicher heißt das, ein Vektorfeld ist eine Abbildung , so dass mit gilt. Es wird also jedem ein Vektor zugeordnet. Die Abbildung ist die natürliche Projektion mit .
Die Menge aller glatten Vektorfelder wird häufig mit , oder notiert.
Diese Definition verallgemeinert die Vektorfelder im euklidischen Raum. Es gilt nämlich und .
Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.
Vektorfelder sind gerade die kontravarianten Tensorfelder erster Stufe.
Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik: Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik.
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