Thom-Raum

Der Thom-Raum oder Thom-Komplex, benannt nach René Thom, ist in der algebraischen Topologie und Differentialtopologie ein einem Vektorbündel zugeordneter topologischer Raum.

Konstruktion des Thom-Raums

Ein k-dimensionales reelles Vektorbündel ${\displaystyle E}$ über einem parakompakten Raum ${\displaystyle B}$ sei durch

${\displaystyle p\colon E\to B}$

gegeben. Dann ist für jeden Punkt ${\displaystyle b}$ der Basis ${\displaystyle B}$ die Faser ${\displaystyle F_{b}}$ des Vektorbündels ein k-dimensionaler reeller Vektorraum. Ein zugehöriges Sphärenbündel ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\to B}$ kann durch separate Einpunktkompaktifizierung jeder Faser gebildet werden. Aus dem Bündel ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$ erhält man den Thom-Komplex ${\displaystyle T(E)}$ indem alle neu hinzugefügten Punkte mit dem Punkt ${\displaystyle \infty }$ identifiziert werden, dem Basispunkt von ${\displaystyle T(E)}$.

Thom-Isomorphismus

Die Bedeutung des Thom-Raums ergibt sich aus dem Satz über den Thom-Isomorphismus aus der Theorie der Faserbündel (hier mittels ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-Kohomologie formuliert, um Komplikationen aus Orientierbarkeitsfragen zu vermeiden).

Mit ${\displaystyle p\colon E\to B}$ wird wie im vorigen Abschnitt ein reelles Vektorbündel bezeichnet. Dann gibt es einen Isomorphismus, den Thom-Isomorphismus

${\displaystyle \Phi \colon {H}^{i}(B;\mathbf {Z} _{2})\to {\tilde {H}}^{i+k}(T(E);\mathbf {Z} _{2})}$,

für alle ${\displaystyle i\geq 0}$, wobei die rechte Seite die reduzierte Kohomologie ist.

Der Isomorphismus lässt sich geometrisch als Integration über die Fasern interpretieren. Im Spezialfall eines trivialen Bündels ist ${\displaystyle T(E)=S^{k}B_{+}}$ die ${\displaystyle k}$-fache Einhängung der Basis und der Thom-Isomorphismus folgt aus dem Einhängungs-Isomorphismus ${\displaystyle {\tilde {H}}^{i}(B)=H^{i+1}(SB)}$. Der Thom-Isomorphismus gilt auch für verallgemeinerte Kohomologietheorien.

Der Satz wurde von René Thom in seiner Dissertation 1952 bewiesen.

Thom-Klasse

Thom gab auch eine explizite Konstruktion des Thom-Isomorphismus. Dieser bildet das neutrale Element von ${\displaystyle H^{*}(B)}$ auf eine Klasse ${\displaystyle U}$ in der ${\displaystyle k}$-ten Kohomologiegruppe des Thom-Raumes ab, die Thom-Klasse. Damit kann man für eine Kohomologieklasse ${\displaystyle b}$ in der Kohomologie des Basisraums den Isomorphismus über den Rückzug der Bündel-Projektion und das kohomologische Cup-Produkt berechnen:

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile U.}$

Thom zeigte in seiner Arbeit von 1954 weiter, dass die Thom-Klasse, die Stiefel-Whitney-Klassen und die Steenrod-Operationen miteinander verbunden sind. Weiter zeigte er, dass die Kobordismengruppen als Homotopiegruppen bestimmter Räume ${\displaystyle MSO(n)}$ berechnet werden können, die selbst als Thom-Räume konstruiert werden können. Sie bilden im Sinne der Homotopietheorie ein Spektrum ${\displaystyle MSO}$, genannt Thom-Spektrum. Das war ein wichtiger Schritt zur modernen stabilen Homotopietheorie.

Falls Steenrod-Operationen definiert werden können, kann man mit ihnen und dem Thom-Isomorphismus Stiefel-Whitney-Klassen konstruieren. Nach Definition sind die Steenrod-Operationen (mod 2) natürliche Transformationen

${\displaystyle Sq^{i}\colon H^{m}(-;\mathbf {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbf {Z} _{2})}$,

definiert für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle m}$. Falls ${\displaystyle i=m}$ ist, stimmt Sqⁱ mit dem Quadrat des Cup überein. Die ${\displaystyle i}$-ten Stiefel-Whitney-Klassen ${\displaystyle w_{i}(p)}$ des Vektorbündels ${\displaystyle p\colon E\to B}$ sind dann gegeben durch:

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(U)).\,}$

Literatur

• J. P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1999, ISBN 0-226-51182-0, S. 183–198 (Chicago Lectures in Mathematics Series).
• Dennis Sullivan: René Thom's Work on Geometric Homology and Bordism. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 41, 2004, S. 341–350, online .
• René Thom: Espaces fibrés en sphères et carrés de Steenrod. In: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. Sér. 3, 69, 1952, S. 109–182, online.
• René Thom, Quelques propriétés globales des variétés differentiables. In: Commentarii Mathematici Helvetici. 28, 1954, S. 17–86, online.