Tautologie (Logik)
allgemein gültige Aussage Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
allgemein gültige Aussage Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine Tautologie (altgriechisch ταυτολογία von ταὐτό t’autó [aus τὸ αὐτό] „dasselbe“ und -logie), auch Verum (lateinisch verum „wahr“) genannt, ist in der Logik eine allgemein gültige Aussage, also eine Aussage, die unabhängig von der Interpretation immer wahr ist. Beispiele für Tautologien sind Aussagen wie „Das Wetter ändert sich oder es bleibt, wie es ist.“ oder „Wenn es regnet, dann regnet es“.
Zum ersten Mal wandte Ludwig Wittgenstein den Begriff 1921 auf überflüssige Feststellungen in der Aussagenlogik an. Er entlehnte den Begriff der Rhetorik, wo eine sprachliche Wiederholung als Tautologie bezeichnet wird. In der Logik ist eine Aussage erfüllbar, wenn sie in wenigstens einer denkbaren Interpretation wahr ist. Eine Tautologie ist demnach eine Aussage, deren Negation unerfüllbar ist. Anders ausgedrückt, sie kann nicht unwahr sein.
Unerfüllbare Aussagen, sowohl in der Negation wie in der Affirmation, werden als Kontradiktion bezeichnet. Eine Aussage, die weder eine Tautologie noch eine Kontradiktion ist, wird als logisch kontingent bezeichnet.
Teilweise wird der Begriff Tautologie für alle Arten von allgemeingültigen Aussagen verwendet, teilweise wird er auf solche Aussagen eingeschränkt, die in der zweiwertigen, klassischen Aussagenlogik allgemein gültig sind. Im letzteren, aussagenlogischen Sinn ist eine zusammengesetzte Aussage genau dann eine Tautologie, wenn sie wahr ist unabhängig davon, ob die Teilaussagen, aus denen sie zusammengesetzt ist, ihrerseits wahr oder falsch sind.
Formal wird die Feststellung, dass eine Aussage allgemein gültig beziehungsweise eine Tautologie ist, als geschrieben.
Eine aussagenlogische Tautologie ist zum Beispiel die Disjunktion „Entweder es regnet, oder es regnet nicht“: Unabhängig davon, ob die in ihr vorkommende Aussage „Es regnet“ wahr ist oder nicht, ist die ganze Aussage wahr: Ist „Es regnet“ wahr, dann ist „Es regnet, oder es regnet nicht“ wahr, weil der erste Teilsatz der Disjunktion wahr ist. Ist „Es regnet“ aber falsch, dann ist damit „Es regnet nicht“ wahr. Dies wiederum ist aber der zweite Teilsatz der Disjunktion, sodass der ganze Satz auch in diesem Fall wahr ist.
Wenn man den Begriff Tautologie im weiteren Sinn verwendet, dann fallen auch Aussagen darunter, die zwar nicht in der Aussagenlogik, aber in anderen logischen Systemen wie der Prädikatenlogik oder der Modallogik allgemein gültig sind. In diesem Sinn ist zum Beispiel die prädikatenlogisch allgemein gültige Aussage „Alle Schafe sind Schafe“ eine prädikatenlogische Tautologie, die modallogisch allgemein gültige Aussage „Es ist möglich, dass es regnet, oder es ist möglich, dass es nicht regnet“ eine modallogische Tautologie.
In mehrwertigen Logiken, also in nichtklassischen Logiken, in denen es mehr als zwei Wahrheitswerte gibt, verliert der Tautologiebegriff seine – vermeintliche oder tatsächliche – umgangssprachliche Natürlichkeit und muss neu definiert werden. Eine Möglichkeit, den Tautologiebegriff in mehrwertige Logik zu übernehmen, besteht darin, aus den Wahrheitswerten einen oder mehrere herauszugreifen und ihnen besondere Bedeutung zuzumessen. Diese herausgegriffenen Pseudowahrheitswerte werden designierte Pseudowahrheitswerte genannt. Man definiert, dass all jene Aussagen Tautologien sind, die für jede Bewertung der in ihnen vorkommenden Atome einen designierten Wahrheitswert liefern. Bei dieser Lösung bleibt der Tautologiebegriff selber zweiwertig, das heißt, eine Aussage ist entweder eine Tautologie oder sie ist keine.
Von zentraler Bedeutung für die Logik sind Methoden zu prüfen, ob Aussagen kontingent (also in ihrer Wahrheit von den Wahr- oder Falschheiten ihrer Grundbausteine abhängig) oder tautologisch (in jedem Fall wahr) sind.
Während eine solche Prüfung prinzipiell mithilfe jeder Methode möglich ist, mit der für alle möglichen Fälle die Wahr- oder Falschheit einer Aussage ermittelbar ist, nimmt die sogenannte Baummethode einen besonderen Stellenwert ein, da hier nicht jeder einzelne Fall geprüft werden muss.
In der klassischen Aussagenlogik fällt die Aufgabe der Tautologieprüfung mit dem praktisch bedeutsamen und intensiv untersuchten Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik zusammen, weil eine Aussage genau dann eine Tautologie ist, wenn ihre Verneinung unerfüllbar ist: Zu prüfen, ob eine Aussage eine Tautologie ist, fällt damit zusammen, zu prüfen, ob ihre Verneinung erfüllbar ist.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.