Steinersche Fläche
Flächen, auf denen Scharen von Kegelschnitten liegen / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
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Steinersche Flächen sind in der Projektiven Geometrie spezielle Flächen, auf denen Scharen von Kegelschnitten liegen. Sie sind nach Jakob Steiner (1796–1863) benannt, der sie 1838 bei seinem Aufenthalt in Rom fand. Spezielle Steinerflächen werden deshalb auch Römer- oder Römische Flächen genannt. Die Steinerschen Flächen sind von Ernst Eduard Kummer und Karl Weierstraß weiter untersucht worden. Eine Steinerfläche ist eine durch quadratische Polynome in zwei Variablen gegebene Fläche im dreidimensionalen Raum:
In affinen Koordinaten ist sie durch eine Gleichung höchstens vierten Grades gegeben.
Dahinter steckt folgende Konstruktion: Man bettet die reelle projektive Ebene, gegeben durch homogene Koordinaten , in den projektiven 5-dimensionalen Raum ein, mit homogenen Koordinaten (Veronese-Fläche):
Dann projiziert man durch Multiplikation mit einer 6 × 4-Matrix auf den vierdimensionalen Raum, was vier Linearkombinationen der oben angegebenen sechs homogenen Koordinaten ergibt: . Als homogene Koordinaten des dreidimensionalen projektiven Raums aufgefasst (bei diesem Übergang entstehen Singularitäten der Fläche) ergibt sich die oben angegebene Darstellung der Steinerfläche.