Spitze (Singularitätentheorie)

In der Mathematik sind Spitzen (auch Kuspen, engl.: cusps) ein Typ von Singularitäten von Kurven. Ein sich auf der Kurve bewegender Punkt müsste an der Spitze seine Richtung abrupt ändern.

Der Punkt ${\displaystyle (0,0)}$ ist eine Spitze der Kurve ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0}$.

Definition

Eine Kurve ${\displaystyle C}$ in der Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ sei definiert durch die Gleichung

${\displaystyle f(x,y)=0}$.

Ein auf der Kurve liegender Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ ist eine Singularität, wenn

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$,

und diese Singularität ist eine Spitze, wenn zusätzlich

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(x,y)\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(x,y)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x,y)\end{array}}\right)=0}$

gilt.

Klassifikation und Beispiele

Jede Spitze kann durch eine lokale Umparametrisierung in die Form

${\displaystyle x^{2}-y^{2k+1}=0}$

mit ${\displaystyle k\geq 1,k\in \mathbb {Z} }$ gebracht werden. In der Klassifikation der Singularitäten entspricht diese Spitze einer ${\displaystyle A_{k}}$-Singularität.

Für ${\displaystyle k=1}$ erhält man die gewöhnliche Kuspe

${\displaystyle x^{2}-y^{3}=0}$.

Für ${\displaystyle k=2}$ erhält man die rhamphoide Kuspe

${\displaystyle x^{2}-y^{5}=0}$.

Beispielsweise haben Kaustiken Spitzen.

Weblinks

• Cusp (MathWorld)