Die Robinson-Arithmetik (auch: Q) ist ein endlich axiomatisiertes Fragment der Peano-Arithmetik, eines Axiomensystems der Arithmetik, also der natürlichen Zahlen, innerhalb der Prädikatenlogik erster Stufe. Sie wurde 1950 von Raphael Robinson eingeführt und entspricht im Wesentlichen der Peano-Arithmetik ohne das Axiomenschema der Induktion. Die Bedeutung der Robinson-Arithmetik rührt daher, dass sie endlich axiomatisierbar, aber nicht rekursiv vervollständigbar ist und sogar wesentlich unentscheidbar ist. Dies bedeutet, dass es keine konsistente entscheidbare Erweiterung der Robinson-Arithmetik gibt. Es gibt damit insbesondere auch keine vollständige rekursiv aufzählbare Erweiterung, da diese bereits rekursiv (entscheidbar) wäre.[1]
Die Robinson-Arithmetik ist formuliert in der Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit, repräsentiert durch das Prädikat . Ihre Sprache hat die Konstante (genannt Null), die Nachfolgerfunktion (für successor: Nachfolger), welche intuitiv zu einer gegebenen Zahl 1 addiert, sowie die Funktionen für Addition und für Multiplikation. Sie hat folgende Axiome, die elementare Eigenschaften der natürlichen Zahlen und der arithmetischen Operationen formalisieren:[2]
- Null hat keinen Vorgänger:
- Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger:
- Jede Zahl ist gleich Null oder hat einen Vorgänger:
- Rekursive Definition von Addition und Multiplikation:
Die Robinson-Arithmetik spielt insbesondere beim Beweis des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes eine Rolle, da sich innerhalb von Q und ebenso in konsistenten axiomatischen Erweiterungen von Q die Beziehung „… ist ein Beweis der Formel …“ repräsentieren lässt.[3]
Dabei bedeutet Repräsentierbarkeit eines Prädikats , dass es eine Formel gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen gilt:
- (+) falls der Fall ist, dann ist die Aussage in Q beweisbar,
- (-) falls nicht zutrifft, dann ist die Aussage in Q beweisbar.[4]
Der Term ist dabei wie folgt definiert:
- ,
- .[5]
Das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat „… ist beweisbar“ (d. h. „es gibt ein , das ein Beweis der Formel … ist“) ist nicht in Q repräsentierbar, weil keine seiner negativen Instanzen („die Formel … ist nicht beweisbar“) in Q beweisbar ist. Es kann jedoch durch eine Σ1-Formel ausgedrückt werden, und daher folgt aus der Σ1-Vollständigkeit von Q,[6] dass jede seiner positiven Instanzen beweisbar ist. Unter Σ1-Vollständigkeit ist hier zu verstehen, dass jede Σ1-Aussage (der Sprache von Q), die für die natürlichen Zahlen gilt, auch in Q beweisbar ist.[7]
Q ist bereits in relativ schwachen Subtheorien von ZFC interpretierbar, etwa im sogenannten Tarski-Fragment TF,[8] das nur aus folgenden drei Axiomen besteht: dem Extensionalitätsaxiom (auch Axiom der Bestimmtheit), dem Leermengenaxiom (auch Nullmengenaxiom: die leere Menge existiert) und dem Axiom, welches für zwei Mengen , die Existenz der adjungierten Menge fordert.
- A. Bezboruah, John C. Shepherdson: Gödel’s Second Incompleteness Theorem for Q. In: Journal of Symbolic Logic. Band 41, Nr. 2, 1976, S. 503–512, JSTOR:2272251.
- George S. Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey: Computability and Logic. 5. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge etc. 2007.
- Petr Hájek, Pavel Pudlák: Metamathematics of first-order arithmetic. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1998.
- Raphael Robinson: An Essentially Undecidable Axiom System. In: Proceedings of the International Congress of Mathematics. 1950, S. 729–730.
- Alfred Tarski, Andrzej Mostowski, Raphael Robinson: Undecidable theories. North Holland, 1953.
- Hans Hermes: Einführung in die mathematische Logik. 2. Auflage. B. G. Teubner Stuttgart, 1969.
- Wolfgang Rautenberg: Einführung in die Mathematische Logik. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2, doi:10.1007/978-3-8348-9530-1.
- Donald Monk: Mathematical Logic (= Graduate Texts in Mathematics. Band 37). Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90170-1.
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