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mathematisches Modell für eine Bewegung, bei der die einzelnen Schritte zufällig erfolgen Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine (zufällige oder stochastische) Irrfahrt[1] (auch Random Walk[2], seltener zufällige Schrittfolge[3], Zufallsbewegung[3] oder Zufallsweg[3]) ist ein mathematisches Modell für eine Verkettung zufälliger Bewegungen. Es handelt sich um einen stochastischen Prozess in diskreter Zeit mit unabhängigen und identisch verteilten Zuwächsen.
Irrfahrtmodelle eignen sich für nichtdeterministische Zeitreihen, wie sie beispielsweise in der Finanzmathematik zur Modellierung von Aktienkursen verwendet werden. Mit ihrer Hilfe können auch die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Messwerten physikalischer Größen verstanden werden.
Der englische Begriff Random Walk geht zurück auf Karl Pearsons Aufsatz The Problem of the Random Walk aus dem Jahr 1905.[4] Die deutsche Bezeichnung Irrfahrt wurde von George Pólya erstmals im Jahr 1919 in der Arbeit Wahrscheinlichkeitstheoretisches über die „Irrfahrt“ verwendet.[5]
Sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit Werten in , die alle dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen. Dann heißt der durch
definierte stochastische Prozess eine Irrfahrt in oder d-dimensionale Irrfahrt.[6][7] Hierbei ist deterministisch, häufig wird gewählt. Eine Irrfahrt ist also ein diskreter Prozess mit unabhängigen und stationären Zuwächsen.
Eine Realisierung einer Irrfahrt liefert einen zufälligen Pfad. Solche Realisierungen von Irrfahrten können durch Monte-Carlo-Simulationen simuliert werden.[8]
Man kann Irrfahrten analog auch in Riemannschen Mannigfaltigkeiten definieren. Bei Irrfahrten auf Graphen spricht man von Zufallspfaden.
Eine Verallgemeinerung einer Irrfahrt mit korrelierten Zuwächsen wird korrelierte Irrfahrt (engl.: correlated random walk)[9] genannt.
Die symmetrische einfache Irrfahrt ist ein grundlegendes Einführungsbeispiel, das auf mehrere Dimensionen erweitert und verallgemeinert werden kann; er hat aber bereits selbst zahlreiche konkrete Anwendungen.
Bei der eindimensionalen Irrfahrt mit fester Schrittweite bilden die einzelnen Schritte einen Bernoulli-Prozess, das heißt, eine Folge von unabhängigen Bernoulli-Versuchen.
Eine beliebte Veranschaulichung lautet wie folgt (siehe auch Drunkard’s Walk): Ein desorientierter Fußgänger läuft in einer Gasse mit einer Wahrscheinlichkeit einen Schritt nach vorne und mit einer Wahrscheinlichkeit einen Schritt zurück. Seine zufällige Position nach Schritten wird mit bezeichnet, ohne Einschränkung sei seine Startposition . Dann ist also oder für alle .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass er sich genau im -ten Schritt an der Stelle befindet? Antwort: Der Fußgänger hat insgesamt Schritte gemacht, davon Schritte nach vorne und Schritte zurück. Seine Position nach Schritten ist also und die Wahrscheinlichkeit dafür lautet
denn die Anzahl der Schritte nach vorne folgt einer Binomialverteilung.
Oft interessiert man sich speziell für die ungerichtete oder symmetrische Irrfahrt mit . Dies ist auch die einzige Parameterwahl, die zu einer rekurrenten Markow-Kette führt, das heißt, dass der Läufer unendlich oft zum Ursprung zurückkehrt. Die aufsummierten Zufallsvariablen sind dann alle Rademacher-verteilt.
Wenn die Schritte mit bezeichnet werden, gilt oder für alle und
Für den Erwartungswert der Schritte gilt jeweils
Des Weiteren ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zurückgelegten Strecke symmetrisch um , und auch der Erwartungswert ist
Das mittlere Vorankommen des Fußgängers kann man dann nur durch den mittleren quadratischen Abstand vom Ausgangspunkt, also durch die Varianz der Binomialverteilung beschreiben: . Wegen , und für alle folgt daraus (vergleiche Gleichung von Bienayme):
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz, also gilt .[10]
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Fußgänger bei einer symmetrischen Irrfahrt mit im -ten Schritt wieder am Start befindet, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Fußgänger Schritte nach vorne und Schritte zurück gemacht hat:
Für große ergibt sich mit der Stirlingformel der Grenzwert
Der Fußgänger kehrt immer irgendwann zum Startpunkt zurück, d. h. die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten für alle ist gleich 1. Dies folgt aus der Divergenz der Reihe:[11][12]
Eine erste Verallgemeinerung besteht darin, dass bei jedem Schritt eine zufällige Schrittlänge zugelassen ist. Wenn die einzelnen Schritte unabhängig sind mit dem Erwartungswert und der Varianz , gilt wegen der Linearität des Erwartungswertes für die Position nach Schritten:
und für die Varianz wegen der Unabhängigkeit der Einzelschritte
Der Erwartungswert und die Varianz hängen nicht von der Verteilung der Schritte ab.
Die nebenstehende Abbildung zeigt beispielsweise fünf Simulationen für Schritte mit einer Schrittlänge, die im Intervall gleichverteilt ist. In diesem Fall beträgt die Standardabweichung für jeden Schritt . Der Erwartungswert der Endposition einer derartigen Zufallsbewegung nach Schritten ist 0, und die Standardabweichung der Endposition beträgt . Die Standardabweichung ist als rote Linie ober- und unterhalb des Erwartungswertes eingezeichnet.
Um den Erwartungswert des Betrags des Abstands von der Startposition zu berechnen, wird die Verteilung von benötigt. Die standardisierte Zufallsvariable
hat den Erwartungswert und die Varianz . Wenn die Einzelschritte unabhängig sind und dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen, konvergiert die Verteilungsfunktion von nach dem zentralen Grenzwertsatz für punktweise gegen die Standardnormalverteilung. Mit deren Dichtefunktion ergibt sich folgender Erwartungswert:
Damit erhält man für große als Näherung für den Erwartungswert des Abstandes von der Startposition[13]
Es sei die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Zeitintervall am Ausgangspunkt befindet. Dann existieren zwei Konstanten und , sodass für genügend große und mit folgende Ungleichung gilt:[14]
Es sei die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Zeitintervall am Ausgangspunkt befindet. Dann existiert eine Konstante , sodass für genügend große und mit folgende Ungleichung gilt:
Außerdem existiert eine Konstante , sodass für genügend große und mit folgende Ungleichung gilt:[14]
Dimension | Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start[15] |
---|---|
1 | 1 |
2 | 1 |
3 | 0.340537 |
4 | 0.193206 |
5 | 0.135178 |
6 | 0.104715 |
7 | 0.0858449 |
8 | 0.0729126 |
Nach dem Satz von Pólya ist die Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start für einen vorgegebenen Startpunkt für 1 Dimension und für 2 Dimensionen gleich 1 und für 3 oder mehr Dimensionen kleiner als 1. Ist die Wahrscheinlichkeit für eine Rückkehr zum Startpunkt eines Gitters mit D Dimensionen definiert als , dann gilt:
Irrfahrten sind ein Objekt der Wahrscheinlichkeitstheorie, deren Eigenschaften bei den Gesetzen der großen Zahlen, dem zentralen Grenzwertsatz, dem Gesetz vom iterierten Logarithmus und den Null-Eins-Gesetzen verwendet werden. Sie finden beispielsweise Anwendung in der Bedienungstheorie und der Erneuerungstheorie.[16] Ein weiterer Anwendungsbereich ist die Modellierung von Finanzmarktzeitreihen unter der Annahme, dass eine der Irrfahrt-Hypothesen zulässig ist.[2]
Die Eigenschaft für einer Irrfahrt ist ein wichtiges Ergebnis, mit dem eine charakteristische Eigenschaft von Diffusionsprozessen und brownscher Molekularbewegung wiedergefunden wird: Das mittlere Quadrat des Abstands eines diffundierenden Teilchens von seinem Ausgangsort wächst proportional zur Zeit.
Ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an der Stelle zum Zeitpunkt zu finden und die Anzahl der Schritte pro Zeitintervall. Die zeitliche Entwicklung von kann wie folgt beschrieben werden: Es ergibt sich ein Zuwachs der Wahrscheinlichkeit durch Schritte, die mit der Wahrscheinlichkeit für ein Schritt von nach vorkommen, von einem der benachbarten Orte und und einen Abfluss durch Schritte vom Ort zu einem der Nachbarn und . Daraus ergibt sich die Mastergleichung
wobei .[17]