Loading AI tools
mathematische Funktion Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine quasikonvexe Funktion ist eine reellwertige Funktion, die auf einer konvexen Teilmenge eines reellen Vektorraums definiert ist und die Eigenschaft konvexer Funktionen verallgemeinert, dass alle ihre Subniveaumengen konvex sind. Ähnlich wie bei den konvexen Funktionen definiert man als Gegenstück die quasikonkave Funktion. Ist eine Funktion quasikonvex und quasikonkav, so heißt sie eine quasilineare Funktion. Quasikonvexe Funktionen sind von Bedeutung bei verschiedenen Anwendungen in der Wirtschaftstheorie. Optimierungsmethoden, die auf die Klasse der quasikonvexen Funktionen zugeschnitten sind, gehören zur quasikonvexen Optimierung und sind Verallgemeinerungen der konvexen Optimierung.
Quasikonvexe Funktionen können auf zwei Arten definiert werden. Je nach Wahl der Definition wird die andere Definition dann als Eigenschaft aufgeführt.
Eine Funktion , die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt
Eine Funktion , die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt
Äquivalent zur (strikten) Quasikonkavität von ist, dass (strikt) quasikonvex ist. Die Quasilinearität wird wie oben definiert: Eine Funktion heißt quasilinear, wenn sie quasikonvex und quasikonkav ist.
Sind quasikonvexe Funktionen und positive reelle Zahlen für , dann ist auch
eine quasikonvexe Funktion. Dies folgt aus der der Tatsachen, dass die Subniveaumenge der Funktion genau der Schnitt aller Subniveaumengen der Funktionen ist. Diese sind aber per Definition konvex und damit ist die Niveaumenge von als Schnitt konvexer Mengen auch konvex.
Ist eine quasikonvexe Funktion in für alle und ist für alle , so ist auch
eine quasikonvexe Funktion. Dies lässt sich analog zeigen wie der Fall mit Maxima.
Ist quasikonvex sowohl in als auch in und ist wobei eine konvexe Menge ist, so ist die Funktion
quasikonvex.
Ist quasikonvex und ist eine monoton fallende Funktion, so ist eine quasikonvexe Funktion.
Gegeben sei die differenzierbare Funktion mit konvex. Dann ist die genau dann quasikonvex, wenn für alle gilt, dass
Im Falle einer Funktion auf den reellen Zahlen vereinfacht sich dies zu
Aufgrund der Äquivalenz wird dieses auch gelegentlich zur Charakterisierung von Quasikonvexität genutzt.
Im Gegensatz zu konvexen Funktionen folgt bei quasikonvexen Funktionen aus bzw. im Allgemeinen nicht, dass ein Minimum ist. Beispiel dafür ist die Funktion
Sie ist quasikonvex, da monoton wachsend. Ihre Ableitung verschwindet unendlich oft, aber sie besitzt kein Minimum.
Ist die Funktion zweimal differenzierbar und quasikonvex, so gilt für alle und , dass aus folgt, dass . Im Falle einer Funktion auf vereinfacht sich dies zu
In der Anwendung ist man oftmals interessiert, Niveaumengen von quasikonvexen Funktionen durch eine Familie von konvexen Funktionen zu modellieren. Dieser Fall taucht beispielsweise bei Optimierungsproblemen mit quasikonvexen Restriktionsfunktionen auf. Die Niveaumengen sind zwar konvex, aber konvexe Funktionen sind einfacher zu Handhaben als quasikonvexe. Gesucht wird also eine Familie von konvexen Funktionen für , so dass
für eine quasikonvexe Funktion gilt. Die quasikonvexe Restriktion
lässt sich dann durch die konvexe Restriktion
ersetzen. Das quasikonvexe Optimierungsproblem ist dann ein konvexes Optimierungsproblem. ist immer eine monoton wachsende Funktion in , es gilt also .
Eine Darstellung der Niveaumengen existiert immer, zum Beispiel durch die erweiterte Funktion
Sie ist aber nicht eindeutig. Meist ist man an differenzierbaren Funktionen, die die Niveaumengen beschreiben interessiert.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.