Lokaler Körper
Begriff aus der Zahlentheorie / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
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Ein lokaler Körper ist in der Algebra und Zahlentheorie ein topologischer Körper, dessen zugrundeliegende Topologie lokalkompakt und nicht diskret ist.[1] Die Topologie eines solchen Körpers lässt sich immer durch einen Betrag beschreiben. Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Typen von lokalen Körpern: Archimedische lokale Körper und Nicht-archimedische lokale Körper.
Lokale Körper lassen sich vollständig klassifizieren:
- Archimedische lokale Körper sind immer isomorph zu
oder
.
- Nicht-archimedische lokale Körper der Charakteristik
sind immer isomorph zu einer endlichen Körpererweiterung der
-adischen Zahlen
(für eine Primzahl
).
- Nicht-archimedische lokale Körper der Charakteristik
sind immer isomorph zum Körper der formalen Laurent-Reihen
, wobei
ein endlicher Körper der Charakteristik
und
eine formale Variable ist.
Nicht-archimedische lokale Körper kann man äquivalent auch charakterisieren als Körper, die vollständig bezüglich einer nicht-trivialen diskreten Bewertung sind und einen endlichen Restklassenkörper besitzen. Solche lokale Körper treten in der algebraischen Zahlentheorie als Vervollständigungen von globalen Körpern auf.