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komplexe Größe der Elektrotechnik aus Wirkleistung (Realteil) und Blindleistung (Imaginärteil) Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die komplexe Leistung (auch komplexe Scheinleistung) ist eine Rechengröße der Elektrotechnik, welche die verschiedenen Leistungskennwerte bei Wechselstrom zu einem Wert zusammenfasst, welcher mit der symbolischen Methode der komplexen Wechselstromrechnung vereinbar ist. Die Bezeichnung resultiert daraus, dass dieser Wert eine komplexe Zahl ist.
Die komplexe Wechselstromrechnung ist, wie dort gezeigt wird, nur für lineare Rechenoperationen geeignet. Sie versagt beispielsweise bei der Multiplikation von komplexer Spannung und komplexem Strom. Im Gegensatz zur Momentanleistung und zur Scheinleistung hat deshalb das entsprechende Produkt genauso wie das Produkt aus den komplexen Effektivwerten keinen praktischen Sinn. Wenn man jedoch eine komplexe Spannung mit einem konjugiert komplexen Strom multipliziert, heben sich die zeitabhängigen Teile und gegenseitig auf und es geht nur die gegenseitige Phasenverschiebung ein. Das motiviert zur folgenden Definition.
Als komplexe Leistung an einem Zweipol definiert man das Produkt aus komplexem Effektivwert der Spannung und konjugiert komplexem Effektivwert des Stromes . Da die Amplituden um größer als die Effektivwerte sind, ist die komplexe Leistung damit gleich dem halben Produkt aus komplexer Amplitude der Spannung und konjugiert komplexer Amplitude des Stromes:
Durch die ausführliche Schreibweise
und die übliche Abkürzung für die Phasenverschiebung sowie die Aufspaltung in Real- und Imaginärteil
wird deutlich, wie die in der Wechselstromtechnik üblichen drei Kenngrößen der Leistung mit der komplexen Leistung zusammen hängen:
Hat beispielsweise die Spannung die Amplitude und den Nullphasenwinkel sowie der Strom die Amplitude und den Nullphasenwinkel , dann erhält man für die komplexe Leistung
mit der Wirkleistung und der Blindleistung . Sofern Strom und Spannung dem Verbraucherzählpfeilsystem entstammen, handelt es sich bei diesem Zweipol also um einen kapazitiven () Verbraucher ().
Sind die Stromstärke und die Impedanz oder Admittanz eines passiven (linearen) Zweipols gegeben, dann gilt (unter Annahme des Verbraucherzählpfeilsystems) mit für die komplexe Leistung
Sind dagegen die Spannung und die Impedanz oder Admittanz gegeben, dann gilt mit
Damit erhält man für Wirk-, Blind- und Scheinleistung
Als Beispiel erhält man für die Blindleistung eines Kondensators mit der Kapazität an einer Spannung mit der Amplitude und der Kreisfrequenz
Konkret entsteht bei und an einem Kondensator mit einer Kapazität von eine Blindleistung von .
Der Energiefluss in einen Zweipol wird durch den Momentanwert der elektrischen Leistung beschrieben und ist das Produkt der reellen Momentanwerte von Spannung und Strom. Bei Verwendung der Kosinus-Schreibweise für die reellen Signale wird damit
Aufgrund der Beziehung für komplexe Zahlen kann man schreiben
und nach dem Umordnen wieder als Realteil formulieren
sowie komplexe Effektivwerte einführen
Daraus ergibt sich schließlich der fundamentale Zusammenhang zwischen Momentanleistung und komplexer Leistung:
Damit ist eine Analyse der Momentanleistung möglich, ohne dass die Additionstheoreme der Kreisfunktionen genutzt werden.
Indem man den Realteil des Produkts bildet
und anschließend die Real- bzw. Imaginärteilbildung konkret ausführt, ergibt sich schließlich die aus klassischen Leistungsberechnung (unter Verwendung der Kosinus-Schreibweise für die reellen Signale) bekannte Formel
Deren Komponenten können wie folgt interpretiert werden:
Auf Basis dieser Analyse und der grafischen Darstellung kann man auch folgende Aussagen über Wirk- und Blindenergie machen:
Beispielsweise erhält man für die „pendelnde Energie“ eines Kondensators mit der Kapazität an einer Spannung mit der Amplitude und der Kreisfrequenz entsprechend der oben angegebenen Blindleistung
Das ist aber gerade die bekannte Energie eines auf die Spannung aufgeladenen Kondensators.
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