Interquartilsabstand (deskriptive Statistik)

Der Interquartilsabstand,^[1] auch kurz Quartilsabstand genannt^[2] und mit IQA^[1] oder IQR (nach der englischen Bezeichnung interquartile range)^[3] abgekürzt, ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik. Sortiert man eine Stichprobe der Größe nach, so gibt der Interquartilsabstand an, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Stichprobeelemente liegen.

Definition

Gegeben sei eine Stichprobe ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ mit ${\displaystyle n}$ Elementen, die der Größe nach sortiert sind. Es gilt also ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n}}$.

Des Weiteren sei ${\displaystyle x_{0{,}25}}$ das untere Quartil und ${\displaystyle x_{0{,}75}}$ das obere Quartil. Diese sind definiert als

${\displaystyle x_{0{,}25}={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}(x_{n\cdot 0{,}25}+x_{n\cdot 0{,}25+1}),&{\text{wenn }}n\cdot 0{,}25{\text{ ganzzahlig,}}\\x_{\lfloor n\cdot 0{,}25+1\rfloor },&{\text{wenn }}n\cdot 0{,}25{\text{ nicht ganzzahlig.}}\end{cases}}}$ und ${\displaystyle x_{0{,}75}={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}(x_{n\cdot 0{,}75}+x_{n\cdot 0{,}75+1}),&{\text{wenn }}n\cdot 0{,}75{\text{ ganzzahlig,}}\\x_{\lfloor n\cdot 0{,}75+1\rfloor },&{\text{wenn }}n\cdot 0{,}75{\text{ nicht ganzzahlig.}}\end{cases}}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl ${\displaystyle x}$ auf die nächste ganze Zahl ab. Es gilt also beispielsweise ${\displaystyle \lfloor 1{,}2\rfloor =1}$ und ${\displaystyle \lfloor 3{,}99\rfloor =3}$.

Der Interquartilsabstand ist dann definiert als^[1]

${\displaystyle \operatorname {IQA} =x_{0{,}75}-x_{0{,}25}}$

und ist somit genau die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil.

Beispiel

Betrachte die Stichprobe

${\displaystyle 25;28;4;28;19;3;9;17;29;29}$

mit ${\displaystyle n=10}$ Elementen. Sortiert man die Elemente der Größe nach, so erhält man

${\displaystyle 3;4;9;17;19;25;28;28;29;29}$.

Zur Bestimmung des unteren Quartils berechnet man ${\displaystyle n\cdot 0{,}25=2{,}5}$, was nicht ganzzahlig ist. Daher ist gemäß der oben angegebenen Definition

${\displaystyle x_{0{,}25}=x_{\lfloor n\cdot 0{,}25+1\rfloor }=x_{\lfloor 2{,}5+1\rfloor }=x_{\lfloor 3{,}5\rfloor }=x_{3}=9}$.

Analog folgt

${\displaystyle x_{0{,}75}=x_{\lfloor n\cdot 0{,}75+1\rfloor }=x_{\lfloor 7{,}5+1\rfloor }=x_{\lfloor 8{,}5\rfloor }=x_{8}=28}$.

Damit erhält man für den Interquartilsabstand

${\displaystyle \operatorname {IQA} =x_{0{,}75}-x_{0{,}25}=28-9=19}$.

Aufbauende Begriffe

Aufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert, der mit MQA^[1] oder QD (nach der englischen Bezeichnung quartile deviation)^[4] abgekürzt wird. Er ist definiert als^[1]

${\displaystyle \operatorname {MQA} ={\frac {1}{2}}\operatorname {IQA} ={\frac {1}{2}}\left({x_{0{,}75}-x_{0{,}25}}\right)}$.

Im obigen Beispiel wäre der mittlere Quartilsabstand somit

${\displaystyle \operatorname {MQA} ={\frac {1}{2}}\cdot 19=9{,}5}$.