Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).
Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als
mit
schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)
![{\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]={\mathrm {i} }\,f^{abc}\,T_{c}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178fbbadbd583006914477dd81c459b232f1ba49)
(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde).
Die
werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:
![{\displaystyle f^{123}=1,~f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}={\frac {1}{2}},~f^{156}=f^{367}=-{\frac {1}{2}},~f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e45e66a37b1f56bf85b50ed23423eb782b7c43)
Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.
Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:
![{\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566786f40d6886ba3df99a1699e088f612c708b9)
Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:
![{\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e84ef6e47ded1324045ddf03b4be33eac4a6359) |
![{\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} &0\\\mathrm {i} &0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd16a705b470e35c7ba28256e0d88909c1c91bb) |
![{\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d9f346d7301097f147097da1f16ead5ed8551c) |
![{\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5a937eb82b047386dc767637f9e1eb1708fb0e) |
![{\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-\mathrm {i} \\0&0&0\\\mathrm {i} &0&0\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e410281476b510f2f0f9a64c99aeae74a727b7d7) |
|
![{\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24db972377ec73c3a0bf005f0b9a2a146dffb3a) |
![{\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-\mathrm {i} \\0&\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7549941e8ceacbe4bb5a1d8a017f19fed9ea40b) |
![{\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe4961ae10a79fd7077b3afadba8e1b48522485) |
Die ersten drei
erkennt man praktisch als die drei Pauli-Matrizen wieder, die eine SU(2) Untergruppe erzeugen.
Die
-Matrizen haben folgende Eigenschaften:
- Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
- Sie sind spurlos, das heißt
.
- Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt
.
Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.