Loading AI tools
Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Dieses Diskussionsarchiv hat die empfohlene Seitengröße erreicht und gilt damit als abgeschlossen. Sein Inhalt sollte nicht mehr verändert werden (ausgenommen Kleinbearbeitungen wie Link- und Vorlagenfixe). Verwende für die Archivierung von Diskussionsbeiträgen bitte das aktuelle Archiv und benutze bitte für aktuelle Diskussionen die aktuelle Diskussionsseite.
Um einen Abschnitt dieser Seite zu verlinken, klicke im Inhaltsverzeichnis auf den Abschnitt und kopiere dann Seitenname und Abschnittsüberschrift aus der Adresszeile deines Browsers, beispielsweise [[Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/007#Abschnittsüberschrift]] https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/007#Abschnittsüberschrift |
Annahme: Symmetrische Zufalls-Verteilung der Objekte und zufällige Tor-Wahl des Kandidaten. Der Moderator gibt keine zusätzlichen regelwidrigen Informationen preis.
Es gibt nur ein einziges Auto. Aus diesem Grund enthält das nicht gewählte Torepaar somit vorherbestimmt zwangsläufig immer zumindest eine Ziege
Der Moderator öffnet ein in jenem nicht gewählten Torepaar somit zwangsläufig vorhandenes Ziegentor. Dieses sichere Ereignis tritt immer ein.
Auto hinter Tor |
Kandidat wählt Tor |
Das nicht gewählte Torepaar enthält immer ( ! ) zumindest 1 Ziege aber in 2/3 der Fälle auch das Auto |
Verlust bei Wechsel nur in 3 von 9 Fällen: Nur dann, wenn zufälligerweise ursprünglich aus drei Toren das einzige Tor mit dem Auto gewählt war, also nur in einem Drittel aller Fälle |
Gewinn bei Wechsel in 6 von 9 Fällen: Immer dann, wenn eines der beiden Ziegentore gewählt war |
Moderator öffnet Ziegentor |
Folge eines Wechsels: |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | Ziege ⇔ Ziege | Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 2 oder Ziegentor 3 öffnet | 2 oder 3 | Auto-Tor 1 war gewählt, Wechsel schadet | |
1 | 2 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 3 | Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt | |
1 | 3 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 2 | Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt | |
2 | 1 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 3 | Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt | |
2 | 2 | Ziege ⇔ Ziege | Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 3 öffnet | 1 oder 3 | Auto-Tor 2 war gewählt, Wechsel schadet | |
2 | 3 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 1 | Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt | |
3 | 1 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 2 | Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt | |
3 | 2 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 1 | Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt | |
3 | 3 | Ziege ⇔ Ziege | Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 2 öffnet | 1 oder 2 | Auto-Tor 3 war gewählt, Wechsel schadet | |
Gewinn- Chance | Diese Chancen-Verteilung 1/3 : 0 : 2/3 gilt gemäß Spielregel von Beginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles | |||||
Verlust- Risiko | Diese Risiko-Verteilung 2/3 : 1 : 1/3 gilt gemäß Spielregel von Beginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles |
In jenem 1/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat zufällig auf Anhieb dasjenige der drei Tore mit dem einzigen Auto gewählt hat, würde er durch einen Wechsel verlieren.
Das sind nur 3 von 9 Möglichkeiten, also in nur 1/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Verlust des schon gewählten Autos und schadet.
In den restlichen 2/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat jedoch eines der beiden Ziegentore gewählt hat, gewinnt er das Auto durch einen Wechsel.
Das sind 6 von 9 Möglichkeiten, also in 2/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Gewinn des Autos.
Der Kandidat wählt in jedem Fall eines der drei Tore mit einer Gewinnchance von 1/3. Da es nur ein einziges Auto gibt, befindet sich somit hinter dem nicht gewählten Torepaar zumindest eine Ziege, dennoch hat das nicht gewählte Torepaar eine Gewinnchance von 2/3. Dieser Sachverhalt ist in allen "drei Fällen" gleich, egal ob der Kandidat Tor 1, Tor 2 oder Tor 3 wählt. Wichtig ist allein, dass das nicht gewählte Torepaar gegenüber dem vom Kandidaten gewählten Einzeltor die doppelte Gewinnchance besitzt und sich dennoch in jedem Fall dort zumindest eine Ziege befindet. Diese beiden Sachverhalte sollte der Kandidat immer berücksichtigen (Mathematiker ließen das bisher meist außer Acht). Dabei kann es somit effektiv nur die folgenden "drei verschiedene Konstellationen" geben:
1.: Der Kandidat wählt das Tor mit der "einen Ziege", das nicht gewählte Torepaar enthält die "andere" Ziege und das Auto.
2.: Der Kandidat wählt das Tor mit der "anderen Ziege", das nicht gewählte Torepaar enthält dann die "eine" Ziege und das Auto.
3.: Der Kandidat wählt das Tor mit dem einzigen Auto, und nur dann (also nur in 1/3 der Fälle) enthält das nicht gewählte Torepaar beide Ziegen.
Das nicht gewählte Torepaar besteht aus zwei Toren, je mit einer Gewinnchance von 1/3 und einem Nietenrisiko von 2/3.
Daraus ergibt sich, dass das nicht gewählte Torepaar gemäß Spielregel eine Gewinnchance von 2/3 und ein Nietenrisiko von 1 1/3 auf sich vereinigt, weiters enthält das nicht gewählte Torepaar bekanntermaßen immer zumindest eine Ziege. Obwohl jedes der beiden nicht gewählten Tore – für sich betrachtet – eine Gewinnchance von durchschnittlich 1/3 und ein Nietenrisiko von durchschnittlich "nur" 2/3 besitzt, besagt die Spielregel dennoch: In jedem dieser drei Fälle befindet sich hinter zumindest einem der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares zwangsläufig und mit absoluter Sicherheit zumindest eine Ziege (es gibt nur ein Auto). Eines der beiden (egal welches) ist ein "garantiertes Ziegentor" im nicht gewählten Torepaar. Hinter dem "anderen Tor", seinem "Partnertor" im nicht gewählten Torepaar, wird sich gemäß Spielregel in durchschnittlich nur 1/3 der Fälle die zweite Ziege, jedoch in durchschnittlich immerhin 2/3 der Fälle das Auto befinden. Jenes "Partnertor" vereinigt somit von vornherein immer die gesamte Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares von 2/3 auf sich. Dabei ist es von vornherein völlig belanglos, welches der beiden nicht gewählten Tore das "garantierte Ziegentor" mit der Gewinnchance von Null und dem Nietenrisiko von 1 ist, und welches das "andere, das privilegierte Tor" mit einer Gewinnchance von 2/3 und einem Nietenrisiko von nur 1/3. Diese Belanglosigkeit liegt zwar klar auf der Hand, wird jedoch selbst von Mathematikern nicht immer genügend berücksichtigt. Nochmals: Die Frage: "Welches der beiden Tore?" ist von vornherein völlig belanglos und absurd, sie wird sich im Spielverlauf niemals stellen. Denn dadurch, dass der Moderator – nachdem der Kandidat sein Tor gewählt hatte – ein Ziegentor öffnet, ist sie ja bereits beantwortet worden: Das geöffnete Ziegentor hatte von Beginn an eine Gewinnchance von absolut Null und ein Nietenrisiko von absolut 1, und damit hatte das dann noch verschlossene, nun zum Wechsel angebotene Tor bereits von Anfang an eine Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 und ein Nietenrisiko von durchschnittlich nur 1/3. Der Moderator hat diese Frage also bereits beantwortet, und ein retrogrades Rätselraten darüber und die Suche nach "mathematischen Beweisen dafür" ist schlicht absurd.
Für diesen schlichten Sachverhalt bedarf es keinerlei weiterer "Beweise", schon gar nicht unnötiger "Wahrscheinlichkeitsrechnungen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten". Diese Wahrscheinlichkeitsrechnungen beeinflussen den gegebenen Sachverhalt nicht. Sie sind nur ein völlig isoliertes Problem von Mathematikern, die den schlichten Sachverhalt in (meist ungelenke) Formeln übersetzen wollen und dabei stets nur eine kleine Untermenge der vorhandenen Information verwenden. Dass solch ungelenke Wahrscheinlichkeitsrechnungen seit Jahrzehnten aber dennoch zuhauf in kurioser, ja skurriler sogenannter "Fachliteratur" am Markt angeboten worden sind und noch immer als "unerlässlich" angeboten und ebenso ernsthaft als "unerlässlich" diskutiert werden ist ein eigenes Kapitel wert, etwa als "wissenschaftlicher Beweis erfolgreicher Vernebelung einfacher Sachverhalte und Raffinesse zur permanenten Irreführung der geduldigen Leserschaft ..." oder "Unvermögen mancher Mathematiker, schlichte Sachverhalte darzustellen".
Das "Besondere" am Ziegenproblem liegt darin, dass es sich, gemäß Spielregel vorherbestimmt, effektiv um drei Tore mit völlig unterschiedlicher Charakteristik handelt. Diese von vornherein unterschiedliche Charakteristik der drei Tore sollte jedoch tunlichst unerkannt bleiben, um die Marktchancen von sogenannter "Fachliteratur" nicht zu gefährden.
Die drei Tore besitzen gemäß Spielregel eine völlig unterschiedliche Charakteristik. Es handelt sich
Diese laut geltender Spielregel vorherbestimmte, unterschiedliche Charakteristik der drei Tore wird nicht auf den ersten Blick erkannt, gilt jedoch in jedem Fall von Anfang an.
Jedes der drei Tore besitzt a priori eine Gewinnchance von durchschnittlich 1/3 und ein Nieten-Risiko von durchschnittlich 2/3. Für das durch den Kandidaten gewählte Tor gilt dies sogar bis zum Schluss des Spieles.
Das eigentliche "Paradoxon" liegt an der Struktur jener beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore, denn jenes nicht gewählte Torepaar muss, durch die Spielregel vorherbestimmt, zwingend immer zumindest eine Ziege enthalten (es gibt nur ein Auto), obwohl seine ebenso vorherbestimmte gemeinsame Gewinnchance in jedem Fall und bis zum Schluss des Spieles bei durchschnittlich 2/3 liegt. Dieser Sachverhalt ist durch die Spielregel gegeben und bedarf keines mathematischen Beweises.
Dies ist also das eigentliche Paradoxon: Die Gewinnchance jedes der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares beträgt durchschnittlich je 1/3, in Summe beträgt die Gewinnchance des Torepaares von Anbeginn durchschnittlich total 2/3, trotz des dort absolut garantierten "Nietentores" das selbst keinerlei Gewinnchance haben kann. Ohne jeden weiteren "mathematisch geführten Beweis" kann die Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares von durchschnittlich 2/3 deshalb niemals beide Tore in gleicher Weise betreffen, sondern letztlich immer nur ein einziges Tor, das von vornherein "privilegierte" Tor. Dieser durch die Spielregel gegebene Sachverhalt bedarf wie dargelegt keines weiteren mathematischen Beweises.
Zur Verdeutlichung:
Die Ausgangslage gemäß Spielregel lautet: Es gibt nur ein einziges Auto, und bei dem nicht gewählten Torepaar geht es um eine Gruppe von zwei Toren, egal um welche auch immer.
Die gemeinsame "Gewinnchance" jenes nicht gewählten Torepaares wird laut Spielregel in jedem Fall durchschnittlich 2/3 betragen und dessen gemeinsames "Ziegen-Risiko" durchschnittlich 4/3 (1 1/3).
Eines jener beiden Tore enthält jedoch imperativ, gemäß Spielregel vorherbestimmt, mit absoluter Sicherheit (1/1 oder 3/3) eine Ziege und hat somit gemäß Spielregel von Anfang an eine Gewinnchance von genau Null, es ist damit von vornherein das durch die Spielregel immer garantierte "imperative Nietentor" in jenem Torepaar. Dennoch beträgt die gemeinsame Gewinnchance jenes Torepaares durchschnittlich 2/3. Da die gemeinsame Gewinnchance jener zwei Tore gemäß Spielregel durchschnittlich 2/3 beträgt, ist bereits durch die Spielregel von Anfang an konkludent gegeben, dass folglich stets "das andere" jener beiden Tore von vornherein die vorherbestimmte Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 auf sich allein vereinigt: Es ist das "privilegierte" Tor. Seine "Gewinnchance" beträgt gemäß Spielregel vorherbestimmt durchschnittlich 2/3 und sein "Ziegen-Risiko" durchschnittlich nur 1/3.
Allerdings ist noch unbekannt, welches jener beiden Tore (des nicht gewählten Torepaares) die durch die Spielregel "vorherbestimmte Ziege" verbirgt (das "absolute Nietentor"), und welches das "andere", das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der doppelten Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 und dem halben Verlustrisiko von durchschnittlich nur 1/3 ist. Das zu wissen wäre eminent wichtig, ist jedoch wohlgemerkt in diesem Stadium des Spieles noch völlig belanglos! Der Kandidat wählt soeben erst "sein" Tor, und der Moderator wird diese Frage im Anschluss daran ohnehin beantworten, noch bevor sie gestellt wird.
Das anschließende (ebenso durch die Spielregel vorherbestimmte) Öffnen eines Ziegentores durch den Moderator bringt zwar keinerlei relevante zusätzliche Information hinsichtlich der Gewinnchance des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores (1/3) noch hinsichtlich der gemeinsamen Gewinnchance der beiden nicht gewählten Tore (von zusammen 2/3), es stellt dafür eben kein Ereignis dar. Durch das Öffnen des Ziegentores wird jedoch gezeigt, dass die besagte, von Anfang an feststehende Gewinnchance von 2/3 also allein das zweite, jetzt noch immer verschlossene, nicht gewählte Tor betrifft. Bei diesem noch verschlossen bleibenden Tor handelt es sich also um das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der − gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor − doppelten Gewinnchance von 2/3 und dem – gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor – nur halbem Verlustrisiko von 1/3.
Der Moderator hilft:
Zumindest eines der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore ist ein "absolutes Nietentor", es enthält imperativ eine Ziege, das andere nicht gewählte Tor ist das durch die Spielregel von Anfang an "privilegierte Tor" mit einer vorherbestimmten Gewinnchance von 2/3. Der Moderator zeigt nun, welches der beiden nicht gewählten Tore eine Ziege enthält und offenbart damit jenes (noch verschlossen bleibende) "privilegierte Tor" mit der "a priori Gewinnchance" von 2/3.
Die Gewinnchance jenes Tores, das der Kandidat ursprünglich aus drei Toren ausgewählt hat, bleibt bis zum Schluss unverändert 1/3 (und dessen Ziegen-Risiko 2/3).
Die Gewinnchance des anderen, noch verschlossenen Tores (des durch den Moderator offenbarten "privilegierten Tores") betrug von Anfang an 2/3 (und dessen Nieten-Risiko nur 1/3).
Da nicht bekannt ist, hinter welchem der beiden nun letztlich noch verschlossenen Tore (dem vom Kandidaten ursprünglich gewählten "durchschnittlichen Tor" mit einer Gewinnchance von 1/3 oder dem nicht gewählten, verschlossen gebliebenen "privilegierten Tor" mit einer Gewinnchance von 2/3) sich der Gewinn verbirgt (zwei geschlossene Tore, hinter einem der beiden muss sich zwangsläufig das Auto befinden, hinter dem anderen Tor die zweite Ziege), wird irrtümlicherweise landläufig angenommen, dass jedes der beiden noch geschlossenen Tore die gleiche Chance biete und es daher keine Rolle spiele, ob dem Angebot zu wechseln gefolgt werde oder nicht (der berühmte fatale 50:50 -Trugschluss).
Das eigentliche Paradoxon des "Ziegenproblems" ist rein intuitiv nicht leicht aufzulösen. Der Grund dafür besteht darin, dass sämtliche hier relevanten, bereits durch die Spielregel vorherbestimmten zwingenden Konklusionen und die vorherbestimmte, von Anfang an durch die Spielregel festgelegte, unterschiedliche Chancen-Risken-Charakteristik der drei Tore nicht ohne weiteres und auf den allerersten Blick erkennbar sind, obwohl dies – didaktisch aufbereitet – zum "Aha-Erlebnis" führen könnte. Dass dies nicht geschieht ist Gold wert. Die einschlägige Fachliteratur zu diesem Thema zeigt anschaulich: Unter striktem Ignorieren der durch die Prämissen der Spielregel bereits klar vorherbestimmten Konklusionen lassen sich publikumswirksam ganze Bibliotheken füllen, mit eindrucksvollen, aber in diesem Fall unnötigen mathematischen Wahrscheinlichkeits-Berechnungen und völlig überflüssigen, angeblich "wissenschaftlich unbedingt notwendigen mathematischen Beweisen", ohne das permanente "Ja, warum denn nur" des Paradoxons enthüllen zu wollen. Das Kennzeichnende für das ungelöste "Warum denn nur?" sind manche "Mathematiker", die selbst die bereits durch die Spielregel vorherbestimmten Konklusionen nicht sehen (können?) und die durch die Spielregel bereits klar festgelegte, völlig unterschiedliche Chancen-Risken-Struktur der drei Tore nicht erkennen (wollen?). Die am Markt befindlichen und laufend neu angebotenen Publikationen bedienen sich bedingter Wahrscheinlichkeiten und kommen mit unnötigen mathematischen "Beweisen" auf Umwegen zwar schließlich dennoch zum selben Ergebnis, lassen aber die ungewisse Frage nach dem "Warum denn nur" weiterhin bewusst offen.
Und: die in manchen Publikationen angestellt gewesenen Überlegungen, der Moderator könnte allenfalls durch ein bestimmtes regelwidriges Verhalten auf die eine oder andere unsaubere Weise vielleicht doch zusätzliche Informationen preisgeben, was dann neue Rätsel aufgibt, ignorieren die vorgegebene Spielregel. Solche Verwirrspiele lenken vom eigentlichen Paradoxon des "Ziegenproblems" ab und sind zum Verständnis des scheinbaren Paradoxon wenig hilfreich, auch wenn sie aus "reputablen Quellen" zitiert werden. Der klare "Durchblick" des Publikums kann so verhindert werden, was für einschlägige "Fachliteratur" weitere Verkaufserfolge verspricht. Voraussetzung dafür: Die durch die Spielregel vorherbestimmte unterschiedliche Chancen-Charakteristik der drei Tore: ( : : ) beziehungsweise deren Risiko-Verteilung ( : : ) bleiben weiterhin tabu.
Das "Ziegen-Problem" veranschaulicht – ähnlich wie "Des Kaisers neue Kleider" – ein Phänomen: Gewieften interessierten Kreisen gelang und gelingt es, selbst über lange Zeiträume hinweg, sich unverzichtbar zu machen. Ein relativ schlichter Sachverhalt kann erfolgreich zum angeblich unbeweisbaren und unlösbaren magischen Problem stilisiert werden, das ohne aufwändige wissenschaftliche Bemühung und kostspielige (für den Autor lukrative) Beratung für immer unlösbar bliebe. Der klare Blick auf die Bestimmungen der Spielregel und die konsequente Beachtung aller sich daraus ergebenden schlüssigen Folgerungen sei "ein falscher Lösungsweg". Solchen "Fachleuten" gelingt es hier zu dekretieren, ohne "Beweise", die nur durch mathematische Wahrscheinlichkeitsberechnungen, unter Zuhilfenahme "bedingter Wahrscheinlichkeiten" erbracht werden könnten, bliebe der schlichte Sachverhalt angeblich undurchschaubar und letztlich für immer unlösbar. Ein solcher "Beweis" sei schlicht unabdingbar und "der einzig zulässige Lösungsweg". Die gläubige Mehrheit nahm und nimmt das für bare Münze an (die Verkaufserfolge sprechen für sich), und die nächste derartige "wissenschaftliche Veröffentlichung" zum Thema wartet bereits im Schaufenster?
Es gilt in erster Linie, die Anschaulichkeit der schlichten Problemstellung und damit das "Aha-Erlebnis" zu fördern, und nicht die angebliche Unerlässlichkeit mathematischer "Beweise" zu dekretieren und damit zu verwirren. Die (an sich völlig unnötigen) Bemühungen, den Sachverhalt auch in mathematischen Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung darzustellen sind anzuerkennen. Da sie aber immer als "zur Problemlösung unverzichtbar" dargestellt wurden, gehören sie als "historisches Phänomen" vom eigentlichen Ziegenproblem gelöst und unter dem Titel "skurrile Kuriositäten" in ein vom Paradoxon deutlich getrenntes Kapitel. -- Gerhardvalentin 12:49, 28. Dez. 2009 (CET)
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.