Benutzer:Tmthco/Sechsdimensionaler Raum
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Ein sechsdimensionaler Raum ist jeder Raum, der sechs Dimensionen und sechs Freiheitsgrade hat. Es werden sechs Datenelemente bzw. Koordinaten benötigt, um einen Ort in diesem Raum festlegen zu können. Davon gibt es unzählige, am interessantesten sind jedoch diejenigen, die einen bestimmten Aspekt der Umgebung modellieren. Von besonderem Interesse ist der sechsdimensionale euklidische Raum, in dem 6-Polytope und die 5-Sphäre konstruiert werden. Darüber hinaus werden auch sechsdimensionale elliptische Räume und hyperbolische Räume mit konstanter positiver und negativer Krümmung untersucht.
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Ein sechsdimensionaler euklidischer Raum () wird generiert, indem alle reellen 6-Tupel als 6-Vektoren in diesem Raum betrachtet werden. Als solches hat es die Eigenschaften aller euklidischen Räume, d.h. es ist linear, hat eine Metrik und einen vollständigen Satz von Vektoroperationen. Insbesondere das Skalarprodukt zwischen zwei 6-Vektoren ist leicht definiert und kann zur Berechnung der Metrik verwendet werden. 6 × 6 -Matrizen können verwendet werden, um Transformationen, wie z.B. Rotationen, zu beschreiben, deren Ursprung an der Stelle bleibt.
Allgemein gilt, dass jeder Raum, der lokal mit sechs Koordinaten beschrieben werden kann, die wiederum nicht unbedingt euklidisch sind, sechsdimensional ist. Ein Beispiel dafür ist die Oberfläche der 6-Kugel, S 6 . Dies ist die Menge aller Punkte im euklidischen siebendimensionalen Raum ( ), die einen festen Abstand vom Ursprung haben. Diese Einschränkung reduziert die Anzahl der Koordinaten, die zur Beschreibung eines Punktes auf der 6-Kugel erforderlich sind, um eins, sodass dieser sechs Dimensionen hat. Solche nichteuklidischen Räume sind weitaus häufiger als euklidische Räume; in sechs Dimensionen haben sie weitaus mehr Anwendungen.