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Im mathematischen Gebiet der Knotentheorie ist ein amphichiraler Knoten (auch: achiraler Knoten) ein Knoten, der zu seinem Spiegelbild äquivalent ist. Ein chiraler Knoten ist ein Knoten, der nicht zu seinem Spiegelbild äquivalent ist.
Amphichirale Knoten sind von Bedeutung in Biologie und Chemie, weil die Chiralität oder Achiralität von Molekülen von großer Bedeutung für ihre physikalischen und chemischen Eigenschaften ist.[1] Chiral verknotete Moleküle in pharmazeutischen Produkten führten in den 50er Jahren zu schweren Schädigungen bei Neugeborenen,[2] weil spiegelbildlich verknotete Moleküle oft auf völlig unterschiedliche Weise wirken. Dieses Problem tritt bei amphichiral verknoteten Molekülen nicht auf.
Ein Knoten ist eine Äquivalenzklasse von Einbettungen (oder ), wobei zwei Einbettungen als äquivalent angesehen werden, wenn es einen orientierungserhaltenden Homöomorphismus des (oder der ) gibt, der die eine Einbettung in die andere abbildet.
Das Spiegelbild eines Knotens erhält man, indem man einen orientierungsumkehrenden Homöomorphismus auf das Bild einer den Knoten repräsentierenden Einbettung anwendet. Weil alle orientierungsumkehrenden Homöomorphismen des (oder der ) homotop zueinander sind, kommt es bei dieser Definition nicht auf die Wahl des orientierungsumkehrenden Homöomorphismus an.
Das Spiegelbild des Knotens wird mit bezeichnet.
Ein Knoten heißt amphichiral (oder achiral), wenn er zu seinem Spiegelbild äquivalent ist, wenn es also nicht nur einen orientierungsumkehrenden, sondern auch einen orientierungserhaltenden Homöomorphismus gibt, der den Knoten auf sein Spiegelbild abbildet.
Ein Knoten heißt chiral, wenn er nicht zu seinem Spiegelbild äquivalent ist.
Die folgenden Invarianten können einen Knoten von seinem Spiegelbild unterscheiden:
Kreuzungszahl | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Chirale Knoten | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 49 | 152 | 552 | 2118 | 9988 | 46698 | 253292 | 1387166 |
Reversible Knoten | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 47 | 125 | 365 | 1015 | 3069 | 8813 | 26712 | 78717 |
Völlig chirale Knoten | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 27 | 187 | 1103 | 6919 | 37885 | 226580 | 1308449 |
Amphichirale Knoten | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 5 | 0 | 13 | 0 | 58 | 0 | 274 | 1 | 1539 |
Positiv amphichirale Knoten | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 65 |
Negativ amphichirale Knoten | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 40 | 0 | 227 | 1 | 1361 |
Völlig amphichirale Knoten | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 7 | 0 | 17 | 0 | 41 | 0 | 113 |
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