Loading AI tools
Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Geometrie bezeichnet man als Affinität eine strukturerhaltende bijektive Abbildung eines affinen Raumes (häufig der Zeichenebene oder des dreidimensionalen Anschauungsraums) auf sich selbst. Der Begriff umfasst und verallgemeinert den Begriff der Ähnlichkeit, bei der zusätzlich die Verhältnisse beliebiger Streckenlängen und die Maße von Winkeln (→ siehe Winkeltreue) erhalten bleiben.
In der synthetischen Geometrie wird der Begriff Affinität für zweidimensionale affine Räume, also Ebenen verallgemeinert: Eine Kollineation auf einer affinen Ebene ist genau dann eine Affinität, wenn jede ihrer Einschränkungen auf eine Gerade durch eine Komposition von Parallelprojektionen dargestellt werden kann. Für desarguesche Ebenen ist diese Definition äquivalent zu der Definition „Eine Affinität ist eine teilverhältnistreue Kollineation.“, die in der analytischen Geometrie verwendet wird. Für mindestens dreidimensionale affine Räume erübrigt sich eine Verallgemeinerung, da diese stets desarguesch sind, eindimensionale Räume werden für sich genommen in der synthetischen Geometrie nicht betrachtet.
Man kann die Abbildungsvorschrift nach Wahl einer affinen Punktbasis für die Ortsvektoren in der Form
angeben. Der Vektor heißt Verschiebungsvektor, ist eine quadratische Matrix, die sogenannte Abbildungsmatrix. Für ihre Determinante ist stets , d. h. die Abbildung ist bijektiv.
Hier wird der affine Raum als ein Vektorraum über einem Körper (in der Geometrie meist ) aufgefasst. Die Punkte des affinen Raumes sind die Vektoren aus (Ortsvektoren), und affine Unterräume sind die additiven Nebenklassen der linearen Unterräume dieses Vektorraums . Von dem Vektorraum wird dabei in der Geometrie stets und auch in der Linearen Algebra überwiegend vorausgesetzt, dass seine Dimension endlich ist.
Eine Affinität heißt radiale/zentrische Affinität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt, dies ist äquivalent zu .
Eine Affinität heißt perspektive Affinität, wenn sie genau eine Fixpunkthyperebene (das heißt eine ausschließlich aus Fixpunkten bestehende Hyperebene) besitzt, was äquivalent zu ist.
Eine perspektive Affinität heißt Parallelstreckung, wenn sie neben dem Eigenwert (das heißt einem Eigenwert von ) noch einen Eigenwert besitzt.
Eine Parallelstreckung mit heißt Affinspiegelung. Sie heißt Scherung, wenn sie nur den Eigenwert besitzt.
Eine perspektive Affinität besitzt ein Invariantes Rechtwinkelpaar.
Eine Affinität mit
Falls außerdem
Eine Affinität heißt unimodular, wenn .
Sie ist eigentlich unimodular, wenn .
Ist der zugrunde liegende Körper angeordnet, so ist eine Affinität inhaltstreu, wenn .
Sie ist gleichsinnig, wenn .
Affinitäten besitzen eine Reihe von Eigenschaften, die bei Konstruktionen ausgenutzt werden können.
Eine Affinität ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.
Das Bild einer Geraden unter einer Affinität ist wieder eine Gerade.
Die Bilder paralleler Geraden unter einer Affinität sind wieder parallel.[2]
Ist ein Punkt der Strecke und sind die Bilder von und unter einer Affinität, so ist das Teilverhältnis von gleich dem Teilverhältnis von . Speziell gilt: Ist Mittelpunkt von , so ist der Bildpunkt von M unter einer Affinität der Mittelpunkt der Strecke .
Bei einer perspektiven Affinität in einem zweidimensionalen affinen Raum, der Ebene, ist die Fixpunkthyperebene eine Gerade, die auch als Achse der Affinität bezeichnet wird. Man spricht hier auch von Achsenaffinitäten.
Eine Gerade , durch einen Punkt und seinen Bildpunkt ist eine Fixgerade. Dies lässt sich mit Hilfe der Fixpunktgerade der perspektiven Affinität zeigen:
Das Bild einer Parallelen zu einer Fixgeraden ist selbst wieder eine Fixgerade. Die Aussage folgt aus der Parallelen- und Teilverhältnistreue:
Gegeben sei eine perspektive Affinität über ihre Fixpunktgerade und das Punkt/Bildpunkt-Paar , . Das Bild eines beliebigen Punktes lässt sich damit wie folgt konstruieren:
Eine andere Möglichkeit der Konstruktion spart den Hilfspunkt ein und nutzt die Eigenschaft aus, dass Geraden durch Punkt und Bildpunkt Fixgeraden sind:
Die Menge der Affinitäten über einem affinen Raum bilden bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe. Ist dem affinen Raum der -dimensionale Vektorraum zugeordnet, dann lässt sich diese Gruppe (hier abkürzend als geschrieben) in die Allgemeinen linearen Gruppen als Untergruppe einordnen.
Die Gruppe der Affinitäten ist auch eine Untergruppe der Gruppe der (ebenentreuen) Kollineationen.
Durch die von einer Affinität geforderten Eigenschaften ergeben sich in natürlicher Weise verschiedene Gruppenoperationen:
Die Gruppe
Ist der Körper ein endlicher Körper mit Elementen, dann ist die Gruppe der Affinitäten endlich und ihre Ordnung ist
Dabei ist der Faktor die Ordnung der Translationsgruppe , er ist zugleich der Index der Untergruppe , die den Ursprung auf sich abbildet. Die Ordnung dieser Untergruppe liefert die übrigen Faktoren (→siehe Allgemeine lineare Gruppe#Über endlichen Körpern).
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.