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In der Theorie der stochastischen Prozesse wird das zeitliche Veränderungsverhalten von Markow-Prozessen durch Abbildungen (mit Zeitparameter ) beschrieben, die eine sogenannte Übergangshalbgruppe bilden, genauer einen Halbgruppenhomomorphismus. Die Veränderung im Zeitintervall lässt sich zerlegen in die Veränderung während und die Veränderung während ( bezeichne die Hintereinanderausführung.)
Bei zeitlich homogenen Prozessen ist die Veränderung unabhängig von und hängt nur von der Länge des Intervalls ab. In der Schreibweise hat folgende Eigenschaft:
Die Komposition von solchen die Veränderung während der Zeit beschreibenden Abbildungen ist also verträglich mit der Addition des Zeitparameters. Mit anderen Worten, ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen der von Zeitparameter und der Additionsoperation gebildeten Halbgruppe und der Halbgruppe (Transformationshalbgruppe).
In abkürzender Sprechweise spricht man schlicht von einer Halbgruppe und bezeichnet als Übergangshalbgruppe die von den Übergangskernen eines zeithomogenen Markow-Prozesses gebildete. Die Verträglichkeit der Addition im Zeitparameter und die Hintereinanderausführung von Kernen wird durch die Chapman-Kolmogorow-Gleichungen beschrieben. Die Definition der Übergangshalbgruppe macht es auf diese Weise möglich, Erkenntnisse der Halbgruppentheorie auf Markow-Prozesse anzuwenden.
Übergangshalbgruppen definieren einen Markow-Operator.
Sei ein zeitlich homogener Markow-Prozess in stetiger Zeit auf einem Zustandsraum . Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum sei und bezeichne den Erwartungswert bzgl. .
Für alle sei und entsprechend definiert.
Seien die Übergangskerne. Dann gilt
Mit der Markov-Eigenschaft gilt dann die nun folgende Chapman-Kolmogorow-Gleichung
die man in Operator-Notation kurz zusammenfasst als
Die bilden somit eine Halbgruppe, die als Übergangshalbgruppe bezeichnet wird. Über die topologischen Eigenschaften von ist damit noch nichts gesagt, deswegen werden meist zusätzliche Forderungen an den Markow-Prozess gemacht, so dass in gewisser Hinsicht stetig ist – zum Beispiel im Falle der Feller-Prozesse, wobei eine stark stetige Halbgruppe auf darstellt.
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