Taylorpolynomium

Et Taylorpolynomium er en metode inden for matematikken til at tilnærme en funktion med et approksimerende polynomium.

Der er for få eller ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive troværdige kilder til de påstande, som fremføres i artiklen.

Formlen er fundet af den britiske matematiker Brook Taylor omkring 1715.

sin(x) og det approksimerende taylorpolynomium af orden 5

Formel

Formlen for et ${\displaystyle n}$'te-gradspolynomium, der approksimerer funktionen, ${\displaystyle f(x)}$, ud fra et givent fixpunkt, ${\displaystyle x_{0}}$, ser ud som:

${\displaystyle P_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}\cdot (x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}\cdot (x-x_{0})^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

Eller skrevet lidt mere kompakt:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}(x-x_{0})^{i}}$

Hvor ${\displaystyle f^{(i)}}$ er den ${\displaystyle i}$'te afledte funktion af ${\displaystyle f}$, og ${\displaystyle i!}$ er fakultetet af ${\displaystyle i}$. Generelt vil højere værdi af ${\displaystyle n}$ give en bedre approksimation. Det lykkedes imidlertid den tyske matematiker Carl Runge at fremstille et modeksempel, som gør approksimationen værre ved større ${\displaystyle n}$. Dette er bedre kendt som Runges fænomen.

Taylors grænseformel

Taylors grænsefomel er en metode hvormed det bliver muligt at bestemme grænseværdier ved hjælp af Taylorpolynomier.

Under den antagelse, at funktionen ${\displaystyle f(x)}$ er n gange differentiabel i det givne interval, samt at punktet man ønsker undersøgt er en del af dette interval, gælder følgende regel:

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+{f'(x_{0}) \over 1!}(x-x_{0})+...+{f^{(n)}(x_{0}) \over n!}(x-x_{0})^{n}+(x-x_{0})^{n}\epsilon (x-x_{0})}$

hvor ${\displaystyle \epsilon (x-x_{0})\rightarrow 0}$ for ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$

I denne formel repræsenterer det sidste led, også kaldet epsilon-funktionen, en funktion der går hurtigere mod nul end ${\displaystyle (x-x_{0})^{n}}$. Det har ikke den store betydning, hvordan epsilon-funktionen ser ud; blot det ovenstående gælder, som udnyttes, når man finder frem til grænseværdien.

Eksempler

Det approksimerende polynomium for ${\displaystyle e^{x}}$ viser sig at være et af de simpleste eksempler indenfor approksimerende Taylorpolynomier, så længe man bruger 0 som udviklingspunkt. Dette er som følge af, at ${\displaystyle e^{x}}$ differentieret giver sig selv. Det betyder, at uanset hvor mange gange man differentierer, vil differentialkvotienten altid være 1. Her vises princippet for at finde Taylorpolynomiet af 4. grad.

${\displaystyle f(x)=f'(x)=f''(x)=f'''(x)=f^{(4)}(x)=\cdots ={\textrm {e}}^{x}}$

Som så medfører:

${\displaystyle f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f^{(4)}(0)=\cdots =1}$

Når det ovenstående indsættes i formlen, fås følgende polynomium:

${\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}$

Se også

• Analytisk funktion
• Lille vinkel