Rydbergs formel

Rydbergs formel beskriver emissionsspektret fra brint og brint-lignende ioner. Den udsendte bølgelængde ${\displaystyle \lambda }$ er for brint givet ved:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m}$

Hydrogen-spektret på en logaritmisk skala.

hvor ${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=10.973.731,\!6\,{\text{m}}^{-1}\approx 1,097\cdot 10^{7}\,{\text{m}}^{-1}}$ er Rydbergs konstant, mens ${\displaystyle n}$ og ${\displaystyle m}$ er positive heltal. For brint-lignende ioner, hvor der stadig kun er én elektron, men kernen har en ladning på ${\displaystyle Z}$ elementarladninger, er formlen givet ved:

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=Z^{2}R_{\mathrm {H} }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right);{\text{ }}n<m}$

Formlen blev formuleret af den svenske fysiker Johannes Rydberg i 1888.^[1]

Serier

Ved at sætte ${\displaystyle n}$ lig med en bestemt værdier kan forskellige tidligere spektralserier udledes:^[2][3]

${\displaystyle n}$	${\displaystyle m}$	Navn	Konvergerer imod
1	2 – ∞	Lyman-serien	91.13 nm (UV)
2	3 – ∞	Balmer-serien	364.51 nm (Synligt)
3	4 – ∞	Paschen-serien	820.14 nm (Infrarødt)
4	5 – ∞	Brackett-serien	1458.03 nm (Fjerninfrarødt)
5	6 – ∞	Pfund-serien	2278.17 nm (Fjerninrarødt)
6	7 – ∞	Humphreys-serien	3280.56 nm (Fjerninrarødt)

Serierne konvergerer, fordi det andet led i Rydbergs formel går mod nul, når ${\displaystyle m}$ går mod uendelig.

Udledning

Hovedartikel: Bohrs atommodel.

Rydbergs formel er lige til at udlede fra Bohrs atommodel. I den kan elektronerne kun antage diskrete energiniveauer givet ved:

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

hvor ${\displaystyle n}$ igen er et positivt heltal. I formlen er ${\displaystyle e}$ elementarladningen, ${\displaystyle m}$ er elektronens masse, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ er vakuumpermittiviteten, og ${\displaystyle \hbar }$ er Plancks reducerede konstant. Hvis en elektron nu går fra en høj tilstand ${\displaystyle m}$ til en lav tilstand ${\displaystyle n}$, er energiændringen givet ved:

${\displaystyle \Delta E=E_{m}-E_{n}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

Energien frigives i form af en foton, hvis energi er proportional med frekvensen ${\displaystyle \nu }$:

${\displaystyle \Delta E=h\nu }$

Her er ${\displaystyle h}$ Plancks konstant. Frekvensen er lysets fart ${\displaystyle c}$ divideret med ${\displaystyle \lambda }$, så

${\displaystyle h{\frac {c}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

eller

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)}$

Dermed er Rydbergs formel udledt, hvor Rydbergs konstant altså er lig med:^[3]

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }={\frac {me^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}hc}}={\frac {me^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}$

Udtrykket ${\displaystyle e^{4}}$ kommer fra Coulombs lov, så der skal blot ganges en faktor ${\displaystyle Z^{2}}$ på for at generalisere til andre atomkerner.^[4]

Eksterne henvisninger

• Video om Rydbergs formel

Kildehenvisninger

1. Se:

   • Rydberg, J.R. (1889). "Researches sur la constitution des spectres d'émission des éléments chimiques" [Investigations of the composition of the emission spectra of chemical elements]. Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar [Proceedings of the Royal Swedish Academy of Science]. 2nd series (fransk). 23 (11): 1-177.
   • Opsummering på engelsk: Rydberg, J.R. (1890). "On the structure of the line-spectra of the chemical elements". Philosophical Magazine. 5th series (engelsk). 29: 331-337.
2. "The Rydberg Formula and the Hydrogen Atomic Spectrum", chem.libretexts.org (engelsk), Libre Texts, hentet 27. december 2020
3. Bohr, Niels (1913). "On the Constitution of Atoms and Molecules" (PDF). The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 26 (151): 1-25. doi:10.1080/14786441308634955.
4. "Derivation of the Rydberg Equation from Bohr's Model", chem.libretexts.org (engelsk), Libre Texts, hentet 27. december 2020