From Wikipedia, the free encyclopedia
Induktion er en bestemt type matematisk bevis, som er meget velegnet til at bevise at en matematisk hypotese er sand for alle naturlige tal, eller andre talmængder, som er velordnet.
Induktionsprincippet består af 2 skridt: basisskridtet (induktionsstarten, startbetingelsen) og induktionsskridtet.
På denne måde kan man bevise at hypotesen gælder for alle hele tal fra basisskridtet og opefter. Hvis tilfælde 1 er sand, så er tilfælde 2 også sand, da tilfælde 1 er sand. Så er 3 også sand, når 2 er sand, osv.
Dette princip kan sammelignes med dominoeffekten. Hvis du har en lang række dominobrikker stående efter hinanden, kan du udlede følgende:
Derfor vil alle dominobrikker vælte.
Vi ønsker at bevise følgende sætning med induktionsmetoden:
Først beviser vi at basisskridtet er sand, dvs. at sætningen er sand ved n=1:
Vi har hermed bevist at sætningen er sand, hvis n er 1. Vi vil nu bevise induktionsskridtet ved at bevise, at hvis sætningen gælder for n, dvs. at hvis
så gælder den også for n+1. Vi skal altså vise følgende ligning:
Først skiller vi udtrykket lidt ad:
Vi bruger nu vores induktionsantagelse til at regne videre og får, at
Så ganger vi parenteserne ud og reducerer:
Vi har hermed bevist induktionsskridtet.
Basisskridtet og induktionsskridtet beviser i fællesskab, at sætningen gælder for alle de naturlige tal.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.