Hyperbel

En hyperbel er i geometrien en plan kurve og et af de fire keglesnit. Hyperbelen kan defineres som det geometriske sted som opfylder at forskellen mellem afstanden fra to faste punkter er konstant. Ophavsmanden til betegnelsen hyperbel var Apollonius.

Hyperbelens to grene er de røde kurveR, ${\displaystyle F_{1}}$ og ${\displaystyle F_{2}}$ er hyperbelens brændpunkter, ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ er hyperbelens reelle akse, de blå linjestykker er brændpunktradiene, ${\displaystyle S_{1}}$ og ${\displaystyle S_{2}}$ er toppunkterne. ${\displaystyle a}$ er afstanden fra centrum til et toppunkt og de tynde sorte linjer er asymptoterne

Hyperbelen har to grene. De to faste punkter kaldes brændpunkter, linjesegmentet mellem brændpunkterne kaldes hyperbelens reelle akse, midtpunktet på den reelle akse kaldes hyperbelens centrum, og hyperbelgrenenes skæringspunkter med den reelle akse kaldes toppunkter. Vælges x-aksen langs den reelle akse og y-aksen gennem hyperbelens centrum, med toppunkter i ${\displaystyle (\pm a,0)}$ og brændpunkter i ${\displaystyle (\pm c,0)}$, får hyperbelen ligningen

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Her er ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$. Størrelsen ${\displaystyle 2b}$ kaldes hyperbelens imaginære akse. Er ${\displaystyle a=b}$, er hyperbelen ligesidet. Sammenfalder i stedet for hyperbelens reelle akse med y-aksen, får hyperbelen ligningen

${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1.}$

Disse hyperbler kaldes konjugerte. En hyperbels excentriciteten ${\displaystyle e}$ er defineret som forholdet mellem halvdelen af den reelle akse og afstanden fra centrum til et toppunkt. For hyperbelen er ${\displaystyle e>1}$. Hyperbelens asymptoter har ligningen

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$

Eksempler

En graf af den rektangulære hyperbel ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$, reciprokfunktionen

En ligesidet hyperbel med asymptoter langs koordinataksene har ligningen

${\displaystyle y={\frac {k}{x}}}$

Litteratur

• Guldberg, C.M. (1941). Analytisk geometri. Oslo: Steensballe. s. 60-69.
• Adams, Robert A. & Essex, Christopher (2013). Calculus 2. Harlow: Pearson. s. 463-468. ISBN 978-1-78365-399-7.{{cite book}}: CS1-vedligeholdelse: Flere navne: authors list (link)

Se også

• Hyperbolske funktioner
• De 3 andre typer Keglesnit: cirkel, ellipse, parabel
• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Hyperbel