Biimplikation

Biimplikation er en betegnelse i logik og matematik for et udsagn eller en funktion, der resulterer i værdien sand, når begge operander har samme sandhedsværdi. Dette betyder at enten er begge operander sande eller begge falske.

Se Wiktionarys definition på ordet: :en:hviss

I logik skrives en biimplikation

${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$

og læses: Det er tilfældet at P hvis og kun hvis det er tilfældet at Q. Det skal således forstås at P gælder kun hvis Q gælder men samtidigt også omvendt at Q gælder kun hvis P gælder. Det sidste kan skrives med symboler: (Q ⇒ P og P ⇒ Q ) ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ (${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$) .

Operanderne P og Q siges at være ækvivalente (eller logisk ækvivalente); i matematikken betyder det at operanderne udtrykker det samme fænomen på forskellige måder.

Biimplikation er transitiv. Dvs hvis P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Q og Q ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ W gælder P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ W.

Biimplikation bliver også skrevet som fraserne dobbelt implikation, hvis og kun hvis (engelsk if and only if - hyppigt forkortet til iff), hviss, når og kun når, netop hvis, netop når og ensbetydende med. Biimplikation kan skrives med symbolerne "${\displaystyle \Leftrightarrow }$", "⇄", "↔" eller "≡".

Definition

Sandhedstabellen for P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Q er som følger - sidste søjle (S=sand, F=falsk):^[1][2]

Sandhedstabel

P	Q	P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Q
S	S	S
S	F	F
F	S	F
F	F	S

Sandhedstabellen for P ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Q er ækvivalent med det som produceres af en XNOR-gate (NOT af en XOR-gate) - og det modsatte af hvad der produceres af en XOR-gate.^[3]

Biimplikation i matematik

Et typisk eksempel på anvendelse af biimplikation er i matematik for at illustrere at to ligninger har ækvivalente løsningsmængder. F.eks. kan man illustrere at ligningen ${\displaystyle 2x^{2}=8}$ har samme løsningsmængde som ${\displaystyle x^{2}=4}$ ved at skrive:

${\displaystyle 2x^{2}=8\Leftrightarrow x^{2}=4\Leftrightarrow (x=-2{\text{ eller }}x=2)}$.

Se også

• Logisk operator
• Ækvivalens

Referencer

1. p <=> q. Wolfram|Alpha
2. "If and only if". UHM Department of Mathematics. Arkiveret fra originalen 2022-04-07. Theorems which have the form "P if and only Q" are much prized in mathematics. They give what are called "necessary and sufficient" conditions, and give completely equivalent and hopefully interesting new ways to say exactly the same thing.
3. "XOR/XNOR/Odd Parity/Even Parity Gate". www.cburch.com. Arkiveret fra originalen 2022-04-07. Hentet 2019-10-22.

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

Spire Denne filosofiartikel er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.