Gauss' lov

Gauss' lov udtrykker sammenhængen mellem elektrisk ladning og det elektriske felter, og den er en af Maxwells ligninger. Denne kan udtrykkes på integralform således:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}}$

For alternative betydninger, se Gauss' lov (flertydig). (Se også artikler, som begynder med Gauss' lov)

I matematisk terminologi er integralet af ${\displaystyle \mathbf {E} }$-feltet over en lukket flade proportionel med den omsluttede ladning ${\displaystyle q_{\text{enc}}}$. Ladningen er ladningstætheden ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ integreret over det omsluttede volumen

${\displaystyle q_{\text{enc}}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )dV.}$

Jf. divergens-teoremet er integralformen ækvivalent med divergensen af ${\displaystyle \mathbf {E} }$-feltet lig den lokale ladningstæthed divideret med vakuumpermittiviteten ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$. Dette kan skrives som:^[1]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

Coulombs lov er fysisk identisk med Gauss' lov.

Eksempel: Punktladning

For en positiv ladning ${\displaystyle q}$ peger det elektriske felt væk fra ladningen lige meget i alle retninger, mens det for ${\displaystyle -q}$ vil pege ind mod ladning. Der er altså tale om sfærisk symmetri, så derfor vælges en sfærisk skal som lukket flade med ladningen i centrum. Nu peger feltet vinkelret ud af skallen i samme retning som de infinitesimale arealer, hvilket giver gør, at begge størrelse kan behandles som skalare. Dvs:

${\displaystyle \oint _{S}E\cdot dA={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$

Det elektrisk felt er lige stort i alle retninger, så det er en konstant faktor, som kan sættes uden for integrationstegnet.

${\displaystyle \Phi _{E}=E\oint _{S}\cdot dA=EA={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$

Arealet er overfladearealet af en kugle er givet ved

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$

hvor ${\displaystyle r}$ er sfærens radius, hvilket også er afstanden til ladningen. Dette indsættes:

${\displaystyle E4\pi r^{2}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}$

Det elektriske felt kan nu isoleres:

${\displaystyle E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q}{r^{2}}}}$

Det elektriske felt fra en punktladning ${\displaystyle q}$ falder altså med afstanden i anden. Kraften på en anden punktladning ${\displaystyle Q}$ er dermed:

${\displaystyle F=QE={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {qQ}{r^{2}}}}$

Denne sidste sammenhæng er kendt som Coulombs lov.^[2]

Kildehenvisninger

1. Nave, Carl Rod. "Maxwell's Equations 2" (engelsk). Georgia State University. Hentet 7. april 2020.
2. Halliday, David; Krane, Kenneth S.; Resnick, Robert (2002). "Gauss' Law". Physics (engelsk). Vol. 2 (5. udgave). John Wiley & Sons, Inc. s. 617. ISBN 978-0-471-40194-0.

Spire Denne artikel om fysik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.