et naturligt tal større end 1, som kun er deleligt med sig selv og 1 From Wikipedia, the free encyclopedia
Et primtal er et positivt heltal større end 1, der ikke er deleligt med andre hele positive tal end 1 og tallet selv, kaldet de trivielle divisorer. Ethvert positivt heltal (større end 1) kan skrives som et produkt af primtal på entydig vis (når der ses bort fra rækkefølgen af primtallene). En sådan opskrivning kaldes tallets primfaktoropløsning, og de indgående primtal kaldes tallets primfaktorer. F.eks. er 60 = 2² × 3 × 5. Det faktum, at ethvert positivt helt tal (større end 1) entydigt kan skrives som et produkt af primfaktorer, kaldes aritmetikkens fundamentalsætning.
Bemærk, at 1 ikke er et primtal i definitionen ovenfor, da der jo netop af et primtal kræves, at det er større end 1. Man kunne godt have defineret 1 til at være et primtal, men det gør den videre udvikling af teorien mere besværlig, idet mange sætninger kun gælder for primtal større end eller lig 2. Det gælder for eksempel for den tidligere oplyste entydighed af primfaktoropløsninger. Hvis 1 var defineret til at være et primtal, ville fx 60 kunne skrives som et produkt af primtal på uendelig mange måder. Derfor er det naturligt at definere 1 til ikke at være et primtal.
Primtal studeres indenfor talteori og danner basis for mange krypteringsalgoritmer.
Euklid beviste ca. 300 f.kr., at der findes uendeligt mange primtal. Beviset anføres ofte at være et modstridsbevis, idet man antager at man kender alle primtal. Ganger man alle disse tal sammen og lægger en til, får man et tal, der enten er et ikke-kendt primtal, eller som har en ikke kendt primfaktor (idet ingen af dem man kender jo kan gå op). Men faktisk gik hans bevisførelse ud på at hvis man har en hvilken som helst mængde af primtal, kan man altid finde mindst ét primtal til - fremgangsmåden svarer til ovenstående. Og dette kan selvfølgelig gentages i det uendelige.
Flere matematikere har lavet andre beviser for, at der er uendelig mange primtal, specielt har Euler vist, at summen af primtallenes reciprokke værdier ikke konvergerer, men går mod uendelig.
Mens det er let at indse, at der findes uendeligt mange primtal, er det straks langt sværere at få styr på, hvordan primtallene fordeler sig. Hvis man betragter en liste over primtal (som den ovenfor), ser det ud til at være ganske "tilfældigt" og usystematisk, hvornår det næste primtal vil dukke op. Men selvom fordelingen af primtallene er uregelmæssig på lille skala, dukker der en fornem regelmæssighed op, når man betragter antallet af primtal i store områder.
antal primtal under 1.000: | 168 | (16,8 %) |
antal primtal under 1.000.000: | 78.498 | (7,8 %) |
antal primtal under 1.000.000.000: | 50.847.534 | (5,1 %) |
antal primtal under 1.000.000.000.000: | 37.607.912.018 | (3,8 %) |
antal primtal under 1.000.000.000.000.000: | 29.844.570.422.669 | (3,0 %) |
antal primtal under 1.000.000.000.000.000.000: | 24.739.954.287.740.860 | (2,5 %) |
antal primtal under 1.000.000.000.000.000.000.000: | 21.127.269.486.018.731.928 | (2,1 %) |
Primtalssætningen (bevíst i 1896) giver en præcis beskrivelse af denne regelmæssighed. Antallet af primtal mindre end kan approksimeres med , og den relative fejl ved denne approksimation bliver forsvindende når går mod uendelig. (Her betegner den naturlige logaritme.)
Det er stadig uafklaret, hvor store udsving fra systematikken fra primtalssætningen, der forekommer. Hvis Riemann-hypotesen er sand, er primtallenes fordeling populært sagt så ensartet, som det er teoretisk muligt. Hvis Riemann-hypotesen mod forventning skulle vise sig at være falsk, ville der derimod igennem hele talrækken være forholdsvis store "bump", hvor tætheden af primtallene afveg mere fra den ideelle end den "behøvede".
Carl Friedrich Gauss forudsagde allerede som 14-årig, i 1791, en formel der angiver omtrentligt hvordan antallet af primtal skulle aftage. Lidt senere mente matematikere, at Gauss' formel overvurderede virkeligheden. Dog opdagede G.H. Hardys assistent ved Cambridge, J.E. Littlewood, i 1914, at Gauss' formel modsat tidligere matematiske synspunkter undervurderede virkeligheden. I 1955 demonstrerede Stanley Skewes, at undervurderingen begynder omkring tallet 101010.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000, "Skewes' tal", hvilket betragtes som det største tal der nogensinde er blevet anvendt til matematiske formål.[1]
Primtallene op til 1000 er:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 og 997.
Med fremkomsten af computere er der sket en kraftig udvikling i det største kendte primtal. Det største kendte primtal har næsten altid været af formen 2n-1, som kaldes mersennetal (bemærk at ikke alle tal på denne form er primtal!). Sidst denne side blev opdateret, var det største kendte primtal 282.589.933-1, det blev fundet den 7. december 2018 af GIMPS, som er en internetgruppe, der benytter overskydende computertid til at finde mersenneprimtal. Dette tal er på 24.862.048 decimale cifre.
Primtal på over 1.000 cifre kaldes et titanprimtal og en person der har fundet et sådan kaldes en "titan".
Alt efter egenskaber kan primtal kategoriseres i grupper, f.eks.:
Af mere underholdende karakter er de såkaldte "James Bond primtal", der er primtal der ender med 007. De fire første er 7 (007), 4007, 6007 og 9007.[2][3]
Dette betyder ikke, at en rest på 1 eller 5 ved division med 6 samtidig er en indikator på, om tallet (dividenden) er et primtal. For eksempel er resten ved division af 25 med 6 lig med 1.
31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331 er alle primtal. Før computernes tid var matematikerne rimelig overbevist om, at den slags tal sandsynligvis altid er primtal. Men beviser manglede for antagelsen af, at serien skulle fortsættes. Man fandt senere ud af, at 33 333 331 også er et primtal. Men så opdagede man, at 333 333 331 ikke er et primtal, da 17 x 19 607 843 = 333 333 331. Det er et godt eksempel på, at man bør bestræbe sig på at bevise matematiske formodninger.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.