Nabla-operatoren er i matematikkens verden en differentialoperator indenfor matematisk analyse med vektorer, repræsenteret ved symbolet nabla (∇).
| Denne artikel omhandler svært stof. Der er endnu ikke taget hensyn til ikke-eksperter. |
Under normale omstændigheder kan man vælge at betragte Nabla-operatoren som en vektor, om end det er en noget speciel vektor.
I det tredimensionelle rum,
, vil ∇ for et retvinklet koordinatsystem se således ud (i kartesiske koordinater):
![{\displaystyle \nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd79a970a0d9b3df029c3deaaf6d10a111c1086c)
Denne operator bruges i flere forskellige sammenhænge:
Den første type af brug er i forbindelse med bestemmelse af gradienten, der til en vis grad kan sammenlignes med differentialkvotienten af en funktion. Denne type beregning bruges ved funktioner af flere variable:
![{\displaystyle {\textrm {grad}}f=\nabla f=\left({\partial f \over \partial x},{\partial f \over \partial y},{\partial f \over \partial z}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8013b346d4a038bf7c546dfc224d7c31bddd5a0e)
Divergens
Divergensen af et vektorfelt
inkluderer også Nabla-operatoren, men ved denne type beregning bruges den som et skalarprodukt.
![{\displaystyle {\textrm {div}}{\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}={\partial v_{1} \over \partial x}+{\partial v_{2} \over \partial y}+{\partial v_{3} \over \partial z}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9326c3dca1abfe9f7eb583b5b1d5b736016d5a6b)
Rotation
Rotationen af et vektorfelt
findes ved krydsproduktet mellem et vektorfelt og Nabla, og har således en vektor som resultat.
![{\displaystyle {\textrm {rot}}{\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}=\left({\frac {\partial v_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial z}},{\frac {\partial v_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x}},{\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial y}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32035c04f84755489c9d6d666794d62376e05528)
Der findes endvidere en anden type af operator, kaldet Laplace operatoren der betegner hvad man kunne kalde den anden afledede. Denne noteres på følgende måder:
![{\displaystyle \nabla ^{2}f=\Delta f=\nabla \cdot \nabla f}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c2770837fed73dd23ebe737fc355dc9e2153e6)
- Et gradientfelt er rotationsfrit
Bevis:
For afbildningen ![{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd8b7f658dee898307f9720d5a651ed1ed76e75)
Lad da ![{\displaystyle {\vec {V}}=\nabla f=(f'_{x},f'_{y},f'_{z})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e284c36f1160726cf9f8f3e668db64aa703ebf8)
Da er ![{\displaystyle \nabla \times {\vec {V}}=\nabla \times (\nabla f)=(f''_{zy}-f''_{yz},f''_{xz}-f''_{zx},f''_{yx}-f''_{xy})=(0,0,0)={\vec {0}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e6127ba41352d9a8c26ac9c88b4e0a8c792f9a)
Jævnfør at differentiationsrækkefølgen er ligegyldig ved mere end to afledninger.
- Et rotationsfelt er divergensfrit
Bevis:
Givet et vektorfelt ![{\displaystyle {\vec {V}}=(V_{x},V_{y},V_{z})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444413f37618f21b16c7ce64efc02538d408653a)
Da vil: ![{\displaystyle \nabla \times {\vec {V}}=\left({\partial V_{z} \over \partial y}-{\partial V_{y} \over \partial z},{\partial V_{x} \over \partial z}-{\partial V_{z} \over \partial x},{\partial V_{y} \over \partial x}-{\partial V_{x} \over \partial y}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2979401f09f51ce223cf58e0409395e9e68a60)
Og dermed:
![{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times {\vec {V}})=\left({\partial V_{z} \over \partial y\partial x}-{\partial V_{y} \over \partial z\partial x}+{\partial V_{x} \over \partial z\partial y}-{\partial V_{z} \over \partial x\partial y}+{\partial V_{y} \over \partial x\partial z}-{\partial V_{x} \over \partial y\partial z}\right)=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cba082b08310a11b8bb9beb7f2c4b85c27372cb)
![Matematik](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Greek_lc_pi_icon.svg/28px-Greek_lc_pi_icon.svg.png) | Spire
|