Тейлор речĕ

Тейлор речĕ — пĕр-пĕр функцие капаштару функцийĕсен вĕçсĕр сумми пек, сарăмĕ пек, кăтартни.

Экспоненциаллă ${\displaystyle e^{x}}$ функцин графикĕ (кăвак тĕс) тата унăн ${\displaystyle 0}$ пăнчăри Тейлор речĕн малтанхи ${\displaystyle n+1}$ пайташĕсен суммисен графикĕсем (хĕрлĕ тĕс)

Чăн е комплекслă яка ${\displaystyle f(x)}$ функцин Тейлор речĕ çапларах курăнать (${\displaystyle a}$ чăн е комплекслă хисеп):

${\displaystyle f(x)=}$${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,}$

çакна компактлăрах çырма пулать:

${\displaystyle f(x)=}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n},}$

кунта ${\displaystyle n!}$ тени ${\displaystyle n}$ факториалĕ тата ${\displaystyle f^{(n)}(a)}$ тени ${\displaystyle f}$ функцин ${\displaystyle a}$ пăнчăри ${\displaystyle n}$-мĕш тăхăмĕ. Нульмĕш тăхăм функцие хăйне пĕлтерет, çакă ${\displaystyle (x-a)^{0}}$ тата ${\displaystyle 0!}$ тенисем ${\displaystyle 1}$-пе тан пулнинчен тухса тăрать темелле. Тата ${\displaystyle a=0}$ чухне рете çавăн пекех Маклорен речĕ теççĕ, çакна пĕлсе тăмалла.

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.