Tečný prostor

Matematický pojem tečný prostor variety v daném bodě značí množinu všech jejích tečných vektorů "vázaných" v tomto bodě, viz Obr. 1. Na každém tečném prostoru je přirozeným způsobem dána struktura vektorového prostoru; odtud tedy označení tečný prostor.

Obr. 1: Intuitivní geometrická představa tečného prostoru koule

Definice

Pokud ${\displaystyle M}$ je hladká varieta a ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ značí množinu všech hladkých funkcí definovaných na ${\displaystyle M}$, pak tečným prostorem ${\displaystyle T_{x}{}M}$ variety ${\displaystyle M}$ v bodě ${\displaystyle x\in {}M}$ nazveme množinu všech funkcionálů ${\displaystyle W:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow \mathbb {R} }$ splňujících:

1. ${\displaystyle W(\alpha {}f+\beta {}g)=\alpha \,W(f)+\beta \,W(g),\quad {}W\in \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$
2. ${\displaystyle W(fg)=f(x)\,W(g)+g(x)\,W(f),\quad {}f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$

Každý prvek ${\displaystyle T_{x}{}M}$ nazveme tečným vektorem ${\displaystyle M}$ v bodě ${\displaystyle x}$.

Vlastnosti

Lineární struktura

Definujeme-li na ${\displaystyle T_{x}{}M}$ sčítání dvou prvků ${\displaystyle W,X\in {}T_{x}{}M}$, $${\displaystyle (W+X)(f):=W(f)+X(f),\quad {}f\in {\mathcal {F}}(M)}$$ tvoří ${\displaystyle T_{x}{}M}$ vektorový prostor. Navíc lze za pomocí vlastností 1 a 2 definice ukázat, že je konečněrozměrný a jeho dimenze je rovna dimenzi variety ${\displaystyle M}$.

Tečný vektor v lokálních souřadnicích

Pokud máme na varietě ${\displaystyle M}$ lokální systém souřadnic ${\displaystyle ({\mathcal {O}},y^{i})}$, ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}}$, můžeme tečný vektor ${\displaystyle W\in {}T_{x}{}M}$ rozvinout v bázi souřadnicových vektorových polí ${\displaystyle \left(\partial /\partial {}y^{i}\right)_{i=1}^{\mathrm {dim} M}}$: $${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{\mathrm {dim} M}W(y^{i}){\frac {\partial }{\partial {}y^{i}}}|_{x}}$$

Příklad

Obr.2: Tečný vektor křivky ${\displaystyle \gamma (t)}$ v bodě ${\displaystyle x}$

Jestliže ${\displaystyle \gamma (t):I\rightarrow {}M}$ (${\displaystyle I}$ je otevřený interval v ${\displaystyle \mathbb {R} }$) je hladká křivka na varietě ${\displaystyle M}$ procházející bodem ${\displaystyle x\in {}M}$ v ${\displaystyle t=0}$, je zobrazení $${\displaystyle v:f\mapsto {}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(f\circ \gamma )|_{t=0},\quad {}f\in {\mathcal {F}}(M),}$$ tečným vektorem variety ${\displaystyle M}$ v bodě ${\displaystyle x}$ a současně tečným vektorem křivky ${\displaystyle \gamma (t)}$ v ${\displaystyle x}$.

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu tečný prostor na Wikimedia Commons

Literatura

• Fecko M., Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge 2006
• Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999
• Kowalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995

Portály: Matematika