Průnik

V matematice se jako průnik dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje pouze ty prvky, které se nalézají ve všech těchto množinách. Průnik množin A a B se označuje symbolem A ∩ B.

Průnik dvou množin
${\displaystyle ~A\cap B}$

Formální definice

Pro všechna x platí, že ${\displaystyle x\in \left(A\cap B\right)\equiv \left(x\in A\right)\land \left(x\in B\right)}$.

V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že x ∈ A ∩ B ∩ C iff x ∈ A a zároveň x ∈ B a zároveň x ∈ C. Průnik ${\displaystyle n}$ množin ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ lze zkráceně psát

${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}=\bigcap _{i=1}^{n}{A_{i}}}$

Příklad: Průnikem množin { 1, 2, 5, 6, 8, 11 } a { 2, 3, 4, 6, 8, 9 } je množina { 2, 6, 8 }. Průnikem množin všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, … } a množiny sudých kladných čísel { 2, 4, 6, 8, … } je jednoprvková množina { 2 } (jelikož 2 je jediné sudé prvočíslo).

Vlastnosti

Operace průniku dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Současný průnik všech tří množin – A ∩ B ∩ C – je oběma těmto výrazům roven, proto je možno psát průnik libovolného množství množin bez použití závorek.

Průnik je komutativní operace, platí tedy, že A ∩ B = B ∩ A.

Neutrálním prvkem pro operaci průniku je univerzum, tzn. množina všech prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy ${\displaystyle A\cap I=A}$.

Výsledkem průniku množiny ${\displaystyle A}$ s prázdnou množinou je opět prázdná množina, tzn. ${\displaystyle A\cap \emptyset =\emptyset }$.

Je-li výsledkem průniku dvou množin ${\displaystyle A,B}$ prázdná množina, pak platí ${\displaystyle A\cap B=\emptyset \leftrightarrow B\subseteq -A}$, kde ${\displaystyle -A}$ je doplňkem množiny ${\displaystyle A}$.

Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce a zároveň.

Mohutnost průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: |A ∩ B| ≤ min { |A|, |B| }.

Průnik je idempotentní, tzn. platí ${\displaystyle A\cap A=A}$.

Související články

• Množinové operace
• Sjednocení
• Rozdíl množin
• Doplněk množiny
• UNION

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu průnik na Wikimedia Commons

Portály: Matematika