Ekvivalence (logika)

Název ekvivalence je v logice používán pro binární logický operátor značený symbolem ⇔ (${\displaystyle \Leftrightarrow \,\!}$).

Významově odpovídá tento operátor větné konstrukci „právě tehdy, když“ (zastarale „tehdy a pouze tehdy, když“ a „tehdy a jen tehdy, když“) (anglicky if and only if, zkráceně iff) — ekvivalence tedy říká, že spojovaná tvrzení platí pouze zároveň (obě ano, nebo obě ne). Tomu odpovídá i pravdivostní tabulka této operace.

Pravdivostní tabulka

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Vlastnosti a použití

Ekvivalence je používána v logických výpočtech podobným způsobem, jako relace = v aritmetických výpočtech — takový výpočet je obvykle posloupnost ekvivalencí, jako v následujícím případě:
${\displaystyle (a\vee \neg b)\land (a\vee b)\Leftrightarrow a\vee (\neg b\land b)\Leftrightarrow a\vee 0\Leftrightarrow a\,\!}$

Pravdivostní hodnota ekvivalence je shodná s pravdivostní hodnotou oboustranné implikace, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku:

• ${\displaystyle a\Leftrightarrow b\,\!}$
• ${\displaystyle (a\implies b)\land (b\implies a)\,\!}$

V dvouhodnotové extenzionální logice je pravdivostní hodnota ekvivalence inverzní k pravdivostní hodnotě exkluzivní disjunkce, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku:

• ${\displaystyle a\Leftrightarrow b\,\!}$
• ${\displaystyle \neg ((a\land \neg b)\vee (\neg a\land b))\,\!}$

Pomůcka k pochopení funkce ekvivalence v matematice

Oba členy ekvivalence představují totéž vyjádřené různými slovy. Jejich pravdivostní hodnoty nejsou tedy závislé na dočasnosti či smyslovém vnímání a hodí se proto k použití v matematice.

Např.:

"Máme dokázat že relace ${\displaystyle \Leftrightarrow \,\!}$ je ekvivalencí na množině výroků M. Množinu M můžeme rozložit na třídy M1 (pravdivých výroků) a M2 (nepravdivých výroků). ${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$ značí: A i B patří do stejné třídy, tedy buď A, B jsou prvky M1 nebo A, B jsou prvky M2. Vztahem ${\displaystyle \Leftrightarrow \,\!}$ je dán rozklad na množině M (na třídy M1, M2), a tedy vztah ${\displaystyle \Leftrightarrow \,\!}$ je ekvivalence příslušná tomuto rozkladu."^[1]

Reference

1. HOŘEJŠOVÁ, Milena. Řešené příklady z matematiky pro VŠE. Praha: SNTL/ALFA, 1980. Kapitola Základní pojmy matematiky, s. 13.

Související články

• Booleova algebra
• Konjunkce
• Disjunkce
• Negace
• Implikace
• Existenční kvantifikátor
• Ekvivalence (matematika)

Portály: Matematika