Ortonormalita

V lineární algebře, dva vektory v a w v prostoru s definovaným skalárním součinem jsou ortonormální, pokud jsou ortogonální a mají jednotkovou délku, tedy platí:

${\displaystyle \langle v|w\rangle =0}$ a zároveň ${\displaystyle \|v\|=\|w\|=1}$.

Báze, kde jsou všechny vektory navzájem ortonormální se nazývá ortonormální báze. Dá se najít například Gram-Schmidtovou ortogonalizací – nově vytvořený ortogonální vektor vydělíme jeho normou, čímž se změní pouze jeho délka, ne však směr.

Pokud je ${\displaystyle Z=(v_{1},\dots ,v_{n})}$ ortonormální bází vektorového prostoru ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, potom:

• ${\displaystyle \forall u\in {\mathcal {V}}:u=\sum _{i=1}^{n}\langle u|v_{i}\rangle v_{i}}$. (koeficientům se někdy říká Fourierovy – souvislost s diskrétní Fourierovou transformací)
• ${\displaystyle \forall u,w\in {\mathcal {V}}:\langle u|w\rangle =[w]_{Z}^{\mathrm {H} }[u]_{Z}}$ (Parsevalova rovnost).

Nejpoužívanější ortonormální bázi (někdy se označuje jako kanonická) používá kartézská soustava souřadnic – je tvořená vektory ${\displaystyle (1,0,\dots ,0),(0,1,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)}$.

Související články

• Ortogonalita