Nejmenší společný násobek

Na tento článek je přesměrováno heslo lcm. Další významy jsou uvedeny na stránce LCM.

Nejmenší společný násobek (zkratka NSN či n, anglicky least common multiple – LCM) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel. Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto daných čísel.

Příklad

Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.

Výpočet pomocí rozkladu

Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem největšího možného počtu všech prvočísel (resp. součin největších mocnin), která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.^[1][2][3]

Ukázka (součin největšího možného počtu prvočísel)

1. Zadaná čísla: 15 a 20
2. Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5
3. Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5
4. Nejmenší součin musí obsahovat součin: 2 × 2, 3 a 5, což je 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

Ukázka (součin největších možných mocnin)

1. Zadaná čísla: 36, 40
2. 36 = 2² × 3²
3. 40 = 2³ × 5¹
4. Výsledek: n(36, 40) = 2³ × 3² × 5¹ = 360

Ukázka se třemi čísly

1. Zadaná čísla: 15, 20, 90
2. 15 = 3 × 5
3. 20 = 2 × 2 × 5
4. 90 = 2 × 3 × 3 × 5
5. Výsledek: n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Výpočet pomocí NSD

Nejmenší společný násobek (NSN) lze vypočítat pomocí největšího společného dělitele (NSD) pomocí vzorečku:^[2]

${\displaystyle NSN\left(a,b\right)={\frac {a\times b}{NSD\left(a,b\right)}}}$

Využití

NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{33}}={\frac {11}{66}}+{\frac {2}{66}}={\frac {13}{66}}}$

Vlastnost nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele

Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

Důkaz

Jestliže největší společný dělitel dvou čísel ${\displaystyle a\,\!}$ a ${\displaystyle b\,\!}$ je ${\displaystyle x\,\!}$, potom lze číslo ${\displaystyle a}$ rozložit na součin ${\displaystyle x\cdot y}$ a číslo ${\displaystyle b\,\!}$ lze rozložit na součin ${\displaystyle x\cdot z}$. Je-li ${\displaystyle x}$ skutečně největším společným dělitelem, potom ${\displaystyle x\cdot y\cdot z}$ je nejmenším společným násobkem. Součin ${\displaystyle a\cdot b}$ je roven ${\displaystyle x\cdot y\cdot x\cdot z}$, což je také součin NSD a NSN.