Kruhová úseč

Použité značení:

r – poloměr kruhu
α – středový úhel, $\alpha =2\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)$ ; $\alpha =4\ \mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\biggr )}$ ; $\alpha =2\ \arcsin {\biggl (}{\frac {4hs}{s^{2}+4h^{2}}}{\biggr )}$ ; $\alpha =2\,\mathrm {arctg} {\Biggl (}{\frac {(s/2)}{{\bigl (}{\frac {s^{2}}{8h}}-{\frac {h}{2}}{\bigr )}}}{\Biggr )}$ ; $\alpha =2\,\mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {4sh}{s^{2}-4h^{2}}}{\biggr )}$
s – délka tětivy, $s=2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ ; $s=2r{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos(\alpha )}}$
h – výška oblouku, $h=r{\biggl (}1-\cos {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}{\biggr )}$ ; $h=r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-s^{2}}}$ ; $r^{2}=(s/2)^{2}+(r-h)^{2}$
$r={\frac {s^{2}}{8h}}+h/2$ ; $r={\frac {(s/2)^{2}+h^{2}}{2h}}$ ; $r={\frac {(s/2)}{\mathrm {sin} {\biggl (}2\,\mathrm {arctg} {\Bigl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\Bigr )}{\biggr )}}}$ ; $r={\frac {s}{2\,\mathrm {sin} {\Bigl (}2\,\mathrm {arctg} {\bigl (}{\frac {s}{2h}}{\bigr )}{\Bigr )}}}$
$s=2h\surd ({\frac {2r}{h}}-1)$ ; $s=2\surd (2rh-h^{2})$ ; $s=2\,\tan {\biggl (}{\frac {\alpha }{2}}{\biggr )}\cdot {\biggl (}{\frac {b}{\mathrm {arc} \ \alpha }}-h{\biggr )}$
$h=r-r\surd (1-(s/2r)^{2})$

b – délka oblouku: $b=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r$ (arc = úhel v radiánech); $b=\arcsin {\Biggl (}{\frac {s}{h+{\tfrac {s^{2}}{4h}}}}{\Biggr )}\cdot {\biggl (}h+{\frac {s^{2}}{4h}}{\biggr )}$ ; $b=2r\arcsin {\biggl (}{\frac {s}{2r}}{\biggr )}\cdot {\frac {\pi }{180}}$ (pro nastavení kalkulačky na stupně); $b=4{\biggl (}{\frac {s^{2}}{8h}}+h/2{\biggr )}\cdot \,\mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\biggr )}\cdot {\frac {\pi }{180}}$ (pro nastavení kalkulačky na stupně)

Obvod kruhové úseče:

$o=b+s$
$o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+s$ (arc = úhel v radiánech)
$o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)+s$
$o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ (arc = úhel v radiánech)
$o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)\cdot {\frac {\pi }{180}}+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ (pro nastavení kalkulačky na stupně)

V případě, že je úhel α konvexní (0 < α < π), je obsah úseče roven obsahu výseče ( $S_{V}={\tfrac {arc\ \alpha \cdot r^{2}}{2}}$ ) bez obsahu rovnoramenného trojúhelníka ( $S_{T}=r^{2}\sin \!{\tfrac {\alpha }{2}}\cos \!{\tfrac {\alpha }{2}}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha$ ; kladné číslo).

S=S_{V}-S_{T}={\frac {r^{2}}{2}}\left(arc\ \alpha -\sin \alpha \right)

V případě, že je úhel $\alpha$ konkávní (π < α < 2π), je obsah úseče roven obsahu výseče a obsahu rovnoramenného trojúhelníka. Pro konkávní středový úhel ovšem vyjde obsah trojúhelníka ( $S_{T}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha$ ) záporný, takže pro celkový obsah úseče opět platí předchozí vzorec: