Kružnice vepsaná

Kružnice vepsaná mnohoúhelníku má tyto vlastnosti:

• leží celá uvnitř mnohoúhelníku
• dotýká se všech stran mnohoúhelníku

Mnohoúhelník, kterému lze vepsat kružnici, se pak říká tečnový, protože jeho strany jsou tečnami vepsané kružnice.

Kružnice vepsaná trojúhelníku

Kružnice vepsaná trojúhelníku a její konstrukce

Kružnice vepsaná trojúhelníku má střed v průsečíku os vrcholových úhlů trojúhelníku. Vzorec pro výpočet poloměru této kružnice je následující

${\displaystyle r={\frac {2S}{o}},}$

kde ${\displaystyle S}$ je obsah a ${\displaystyle o}$ je obvod trojúhelníku. Kružnice vepsaná leží uvnitř kružnice devíti bodů, s níž má vnitřní dotyk. Každý trojúhelník je triviálně tečnovým mnohoúhelníkem své vepsané kružnice.

Gergonnův bod

Spojnice dotykových bodů kružnice vepsané s protějšími vrcholy trojúhelníka se protínají v jednom bodě, který se nazývá Gergonnův bod, po francouzském matematikovi Josephu Gergonneovi. Gergonnův bod vždy leží uvnitř trojúhelníku.

Popis obrázku:

Gergonnův bod

• ΔABC
• a, b, c – strany
• o_a, o_b, o_c – osy úhlů
• V – průsečík os úhlů (střed kružnice vepsané)
• k – kružnice vepsaná
• K_a, K_b, K_c – dotykové body kružnice vepsané
• k_a, k_b, k_c – spojnice dotykových bodů s protejšími vrcholy
• G – Gergonnův bod

Literatura

• ŠVRČEK, Jaroslav; VANŽURA, Jiří. Geometrie trojúhelníka. Praha: Nakladatelství technické literatury, 1988.

Související články

• Kružnice opsaná
• Kružnice připsaná
• Joseph Gergonne

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kružnice vepsaná na Wikimedia Commons

Portály: Matematika