Kosinová věta

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran (nebo pro výpočet délky strany, známe-li délky dvou zbylých stran a úhel mezi nimi). Podle kosinové věty pro každý rovinný ${\displaystyle \triangle ABC}$ s vnitřními úhly ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ a stranami ${\displaystyle a,b,c}$ platí:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha \\b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cdot \cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma \end{aligned}}}$

Úhly v ${\displaystyle \triangle ABC}$ – α (u vrcholu A), β (u vrcholu B), a γ (u vrcholu C) jsou proti stranám a, b, c.

Pythagorova věta je speciální případ kosinové věty, protože pro pravý úhel platí ${\displaystyle \cos 90^{\circ }=0}$, takže například pro ${\displaystyle \gamma =90}$ získáme ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$. Alternativní větou pro obecný trojúhelník je sinová věta.

Historie

Ačkoliv v Eukleidově době ještě nebyl znám pojem kosinus, popisují jeho Základy ze 3. století př. n. l. ranou geometrickou větu, která je téměř ekvivalentní zde popisované kosinové větě. Varianty pro tupoúhlé a ostroúhlé trojúhelníky (odpovídající zápornému a kladnému výsledku funkce kosinus) jsou řešeny samostatně v Knize druhé v částech Úloha XII a XIII.^[2][3] Protože goniometrické funkce a algebra (zejména záporná čísla) v Eukleidově době ještě neexistovaly, jsou tato tvrzení založena na geometrických vztazích:

Úloha XII.
V trojúhelnících tupoúhlých čtverec strany proti úhlu tupému větší jest nežli čtverce stran tupý úhel svírajících o dvojnásobný pravoúhelník sevřený jedním ramenem úhlu tupého, na něž dopadá kolmice, a vnější úsečkou při úhlu tupém, již kolmice omezuje.

Eukleidés, Eukleidovy Základy, překlad František Servít.^[3]

Výše citované Eukleidovo tvrzení lze zapsat pro tupoúhlý ${\displaystyle \triangle ABC}$, jenž má tupý úhel ${\displaystyle \angle BAC}$ a z vrcholu ${\displaystyle B}$ je vedena kolmice ${\displaystyle CD}$ na prodlouženou stranu ${\displaystyle BA}$, takto:

${\displaystyle |BC|^{2}=|BA|^{2}+|AC|^{2}+2|BA||AD|}$

Eukleidovy Základy připravily cestu k pozdějšímu objevu kosinové věty. V 15. století uvedl perský matematik a astronom Džamšid al-Kaši první znění kosinové věty ve formě vhodné pro moderní použití při triangulaci, k čemuž poskytl i přesné trigonometrické tabulky. V roce 2020 je ve Francii kosinová věta stále označována jako Formule d'Al-Kashi.^[4][5][6][7]

V západním světě zpopularizoval kosinovou větu v 16. století francouzský matematik François Viète. Na počátku 19. století umožnila moderní algebraická notace zapsat kosinovou větu v její současné symbolické podobě.

Důkaz

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany ${\displaystyle a}$ trojúhelníku ${\displaystyle ABC}$ je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu ${\displaystyle \alpha }$ (ostrý, pravý a tupý):

• Je-li ${\displaystyle \alpha }$ ostrý a bod ${\displaystyle P}$ patou výšky ${\displaystyle v_{c}}$, pak bod ${\displaystyle P}$ náleží straně ${\displaystyle c}$ (pokud ne, prohodíme označení bodů ${\displaystyle B}$ a ${\displaystyle C}$). Vzdálenost paty ${\displaystyle P}$ od bodu ${\displaystyle A}$ označíme ${\displaystyle u}$. Pak podle Pythagorovy věty je

${\displaystyle a^{2}=v_{c}^{2}+(c-u)^{2}}$.

Protože dále platí, že ${\displaystyle u=b\cos \alpha }$ a ${\displaystyle v_{c}=b\sin \alpha }$, lze psát

${\displaystyle a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(c-b\cdot \cos \alpha )^{2}}$,

${\displaystyle a^{2}=b^{2}\cdot \sin ^{2}\alpha +c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha +b^{2}\cdot \cos ^{2}\alpha }$,

${\displaystyle a^{2}=b^{2}(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$,

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$.

• Je-li ${\displaystyle \alpha }$ pravý, pak ${\displaystyle \cos \alpha =0}$ a podle Pythagorovy věty platí

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$.

• Je-li ${\displaystyle \alpha }$ tupý a bod ${\displaystyle P}$ patou výšky ${\displaystyle v_{c}}$, pak bod ${\displaystyle P}$ leží mimo ${\displaystyle c}$. Vzdálenost paty ${\displaystyle P}$ od bodu ${\displaystyle A}$ označíme ${\displaystyle u}$. Pak podle Pythagorovy věty je

${\displaystyle a^{2}=v_{c}^{2}+(c+u)^{2}}$.

Protože dále platí, že ${\displaystyle u=b\cos(\pi -\alpha )}$ a ${\displaystyle v_{c}=b\sin(\pi -\alpha )}$, dostáváme

${\displaystyle a^{2}=(b\cdot \sin(\pi -\alpha ))^{2}+(b\cdot \cos(\pi -\alpha )+c)^{2}}$,

${\displaystyle a^{2}=(b\cdot \sin \alpha )^{2}+(-b\cdot \cos \alpha +c)^{2}}$,

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$.

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha \\\cos b&=\cos a\cos c+\sin a\sin c\cos \beta \\\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \end{aligned}}}$

Ortodroma

Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos e&=\cos(90^{\circ }-\phi _{1})\cos(90^{\circ }-\phi _{2})+\sin(90^{\circ }-\phi _{1})\sin(90^{\circ }-\phi _{2})\cos \Delta \lambda ,\\&=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda ,\end{aligned}}}$

kde

• ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$ jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst,
• ${\displaystyle \Delta \lambda }$ je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst,
• ${\displaystyle e}$ je ortodroma jako úhel mezi spojnicemi poměřovaných míst a středu Země.

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako ${\displaystyle d=e\cdot r}$, je-li ${\displaystyle e}$ v radiánech, resp. ${\displaystyle d={\frac {2\pi e}{360}}\cdot r}$, je-li ${\displaystyle e}$ ve stupních.

Související články

• Kosinus
• Sinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie
• Sférická trigonometrie
• Kosinová pravidla