Souřadnicový zápis tenzorových veličin

Souřadnicový zápis tenzorových veličin je způsob zápisu vektorů, tenzorů a obecněji tenzorových polí pomocí jejich složek v dané soustavě souřadnic. Při takovém způsobu zápisu předpokládáme, že souřadnicove jsou pevně dány a píšeme jen složky tenzorů vůči této soustavě souřadnic. Tento formalismus se využívá především v teorii relativity (např. ^[1][2]) a v diferenciální geometrii.

Tento článek potřebuje úpravy.

Mnohé důležité tenzorové identity vyskytující se ve fyzice mají vlastnost, že zápis identity vypadá ve všech soustavách souřadnic stejně. Tato vlastnost se nazývá invariance. Podobně můžeme mluvit o invariantních diferenciálních operátorech, pokud se v identitě vyskytuje diferencování a zápis rovnice nezávisí na volbě souřadnic.

Příkladem souřadnicového zápisu tenzorů je popis metrického tenzoru pomocí sady čísel (resp. funkcí) ${\displaystyle g_{ij}}$, kde i,j jsou přirozená čísla, anebo popis Riemannova tenzoru křivosti pomocí jeho složek ${\displaystyle \scriptstyle R_{jkl}^{i}}$.

Základy formalismu

Jednotlivé složky tenzorových veličin jsou značeny indexy, přičemž indexy nahoře se nazývají kontravariantní a odpovídají souřadnicím vektorů, kdežto indexy dole se nazývají kovariantní a odpovídají značení kovektorů (forem). V teorii relativity se zpravidla používá řeckých písmen a hodnot 0,...,3 pro indexování časoprostorových tenzorových veličin a latinských indexů 1,...,3 pro prostorové vektory a tenzory. Tenzorovou veličinou se rozumí tenzory, tenzorová pole, tenzorové hustoty a pole tenzorových hustot. Ve fyzice se rozdíl mezi tenzory a tenzorovými poli často nezdůrazňuje a mluví se o nich souhrnně jako o tenzorech.

Souřadnicový zápis je založen na užívání Einsteinova sumačního pravidla, tedy sčítání přes všechny hodnoty indexů, které jsou v jednom členu označeny stejně a mají opačnou polohu. Takové indexy se nazývají sčítací (anglicky „dummy indices“). Indexy, přes které se nesčítá, se nazývají volné.

V relativitě se často využívá faktu, že operujeme na prostoru s definovanou metrikou a skrz ni definovanou beztorzní metrickou konexí. Metrika umožňuje mj. tzv. zvedání a snižování indexů tenzorových veličin vysčítáním daného indexu s metrikou. Metrická konexe zase zavedení kovariantních derivací, jejichž aplikací se definuje většina obvyklých invariantních diferenciálních operátorů. Ve formalismu je ustálené značení obvykle se vyskytujících objektů, jako metrický tenzor, Kroneckerovo delta a Levi-Civitův tenzor.

Příklady:

Aⁱ je v této notaci vektor, S je skalár a Rⁱ_jkl je jednou kontravariantní a třikrát kovariantní tenzor čtvrtého řádu.

${\displaystyle A^{ij}B_{j}\equiv \sum _{j=1}^{3}{A^{ij}B_{j}}}$ (Einsteinovo sumační pravidlo.)

Stručné zavedení metrického tenzoru

Metrický tenzor udává diferenciální nárůst vzdálenosti s při změně součadnic ${\displaystyle x^{i}}$ podle vztahu

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{ij}(x^{k})\;\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}.\,}$

Vzdálenost se pak měří po křivce, podél které se tento vztah zintegruje. Metrický tenzor rovněž určuje velikost vektorů podle vztahu

${\displaystyle |A|^{2}\equiv g_{ij}\;A^{i}A^{j}.}$

Běžně se zavádí také metrický tenzor v kontravariantním tvaru ${\displaystyle g^{ij}}$, který je definován vztahy

${\displaystyle g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}.}$

Zvedání a snižování indexů

Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorů jsou provázány následujícími dvěma vztahy (A je n-krát kontravariantní a m-krát kovariantní tenzor (m+n)-tého řádu, jehož k-tý index (vždy z příslušné skupiny indexů) snižujeme, resp. zvyšujeme):

${\displaystyle g_{i_{k}j}{A^{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{k}i_{(k+1)}\dots i_{n}}}_{i_{1}\dots i_{m}}={A^{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{(k+1)}\dots i_{n}}}_{i_{1}\dots i_{m}j}}$

${\displaystyle g^{i_{k}j}{A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{k}i_{(k+1)}\dots i_{m}}={A^{i_{1}\dots i_{n}j}}_{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{(k+1)}\dots i_{m}}}$

Další obvyklé objekty v souřadnicovém formalismu

Kroneckerovo delta a Levi-Civitův symbol

Chceme-li, aby námi užívaný formalismus platil v libovolné souřadné soustavě, je potřeba definovat permutační znak a Kroneckerovo delta tak, aby šlo o tenzorové veličiny, a to s důrazem na správnou polohu indexů. Zpravidla se používá méně obecné zavedení.

${\displaystyle \delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{je-li }}i=j\\0&{\mbox{je-li }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

Takto definované Kroneckerovo delta se transformuje jako tenzor a má v každé souřadné soustavě stejný tvar. ^[1] Snížením nebo zvýšením indexu metrikou vidíme, že je totožné s metrickým tenzorem, neboť

${\displaystyle g_{ij}\delta _{k}^{j}=g_{ik},\,}$

${\displaystyle g^{ik}\delta _{k}^{j}=g^{ij}.\,}$

Požadavek nezávislosti na souřadné soustavě znemožňuje stejně jednoduché zavedení permutačního symbolu. Obecněji se proto v křivých prostorech zavádí podle následující definice:

${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}={\sqrt {|g|}}}$ je-li ${\displaystyle \scriptstyle i_{k}=k,\;\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}$ je antisymetrické na každé dvojici indexů.

${\displaystyle \varepsilon ^{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} g}{\sqrt {|g|}}}}$ je-li ${\displaystyle \scriptstyle i_{k}=k,\;\varepsilon ^{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}$ je antisymetrické na každé dvojici indexů.

${\displaystyle \scriptstyle g\equiv \det g_{ij}}$ je přitom determinant z metrického tenzoru. Tím, že definujeme ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$ pro jedno uspořádání indexů a tím, že změní znaménko při záměně každých dvou indexů, je definice jednoznačná. Z ní také plyne, že pokud jsou dva indexy shodné, permutační symbol má nulovou hodnotu. Při této definici se ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$ transformuje jako tenzor. Obvyklé je také zavedení ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=\varepsilon ^{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=1}$ pro ${\displaystyle i_{k}=k}$^[1], kde obětujeme tenzorové transformační vlastnosti za jednoduchost zápisu.

V rovném prostoru a kartézské souřadnicové soustavě obě definice přechází v klasické zavedení permutačního symbolu.

Diferenciální operátory v souřadnicovém zápisu

Chceme-li souřadnicově zapsat vektorové (tenzorové) diferenciální operátory, zavádí se tzv. operátor čárky pro derivování podle souřadnic, a to následujícím způsobem:

${\displaystyle {A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{j_{1}\dots j_{m},k}\equiv {\partial }_{k}{A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{j_{1}\dots j_{m}}\equiv {\frac {{\partial A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{j_{1}\dots j_{m}}}{\partial x^{k}}}.}$

Pracujeme-li v souřadných soustavách, které mají nekonstantní metrický tenzor, prostá parciální derivace souřadnic tenzorového pole není tenzorové pole. Proto se v definici diferenciálních operátorů zavádí tzv. kovariantní derivace, která tuto vlastnost má. V souřadnicovém formalismu se zpravidla značí středníkem. Nejčastěji je definována přes Levi-Civitovu beztorzní konexi generovanou metrikou.

Porovnání jednotlivých notací

V následující tabulce jsou porovnány vybrané identity ve vektorovém zápisu a v souřadnicovém zápisu. Předpokládá se trojrozměrný prostor s konstantním metrickým tenzorem. Pro Kartézské souřadnice navíc platí ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$.

Pojmenování	Vektorový tvar	Souřadnicový tvar
Skalární součin vektorů	${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$	${\displaystyle A^{i}B_{i}=g_{ik}A^{i}B^{k}=g^{ik}A_{i}B_{k}\,}$
Vektorový součin vektorů	${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} }$	${\displaystyle \varepsilon _{ijk}A^{j}B^{k}}$
Gradient skalárního pole	${\displaystyle \nabla \phi (\mathbf {r} )}$	${\displaystyle \phi (x^{i})_{,j}\,}$
Divergence vektorového pole	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$	${\displaystyle {A^{j}}_{,j}\left(=A^{j}(x^{i})_{,j}\right)\,}$

Reference

1. KUCHAŘ, Karel. Základy obecné teorie relativity. Praha: Academia, 1968.
2. VOTRUBA, Václav. Základy speciální teorie relativity. Praha: Academia, 1969.