Koeficient šikmosti

Koeficient šikmosti je charakteristika rozdělení náhodné veličiny, která popisuje jeho nesymetrii. Označuje se symbolem ${\displaystyle \gamma _{1}}$.

Příklad asymetrického rozdělení s kladnou šikmostí.

Definice

Koeficient šikmosti je definován jako

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X-\operatorname {E} (X)]^{3}}{(\operatorname {var} \,X)^{3/2}}}}$,

kde ${\displaystyle \mu _{3}}$ je třetí centrální moment, ${\displaystyle \sigma }$ je směrodatná odchylka, ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ je střední hodnota a ${\displaystyle \operatorname {var} \,X}$ je rozptyl.

Vlastnosti

Nulová šikmost značí, že hodnoty náhodné veličiny jsou rovnoměrně rozděleny vlevo a vpravo od střední hodnoty. Kladná šikmost značí, že vpravo od průměru se vyskytují odlehlejší hodnoty nežli vlevo (rozdělení má tzv. pravý ocas) a většina hodnot se nachází blízko vlevo od průměru. U záporné šikmosti je tomu naopak.

Symetrická rozdělení včetně normálního rozdělení mají šikmost nula.

Pro rozdělení s kladnou šikmostí obvykle platí, že jeho modus je menší nežli medián a ten je menší nežli střední hodnota. Pro zápornou šikmost opět naopak.

Výběrový koeficient šikmosti

Výběrový koeficient šikmosti je definován vzorcem

${\displaystyle g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\sqrt {n}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$,

kde ${\displaystyle {\overline {x}}}$ je výběrový průměr, ${\displaystyle m_{2}}$ je výběrový rozptyl a ${\displaystyle m_{3}}$ je třetí výběrový centrální moment.

Tento odhad je vychýlený. Méně vychýlené odhady dostaneme, když místo výběrových centrálních momentů použijeme nevychýlené odhady centrálních momentů:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}={\frac {M_{3}}{M_{2}^{3/2}}}&={\frac {\sqrt {n(n-1)}}{n-2}}g_{1}\\b_{1}={\frac {m_{3}}{M_{2}^{3/2}}}&=\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{3/2}g_{1}\end{aligned}}}$

Pro rozptyly těchto odhadů platí ${\displaystyle \operatorname {var} \,b_{1}<\operatorname {var} \,g_{1}<\operatorname {var} \,G_{1}}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Skewness na anglické Wikipedii.

1. Estimating and Comparing Kurtosis and Skewness from and Arbitrary Population [online]. Michigan SAS Users Group [cit. 2011-07-18]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2008-09-05.Je zde použita šablona {{Cite web}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Koeficient šikmosti na Wikimedia Commons

Portály: Matematika