Inverzní zobrazení

Inverzní zobrazení k nějakému zobrazení ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ přiřazuje prvkům z množiny B prvky množiny A, tedy obrazům zobrazení f jejich vzory. Laicky řečeno, inverzní zobrazení zobrazuje „opačným směrem“ než původní zobrazení. Je-li zobrazení funkcí, hovoříme o jeho inverzním zobrazení jako o inverzní funkci.

Definice

Je-li ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ zobrazení, neboli ${\displaystyle f=\left\lbrace (a,b)|a\in A,b\in B\right\rbrace }$, pak inverzní zobrazení je ${\displaystyle f^{-1}:B\rightarrow A}$ takové, že ${\displaystyle f^{-1}(b)=a\Leftrightarrow f(a)=b}$ nebo také ${\displaystyle (b,a)\in f^{-1}\Leftrightarrow (a,b)\in f}$ (zde ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle f^{-1}}$ jsou ve smyslu relace). Z toho vyplývá, že zobrazení f musí být prosté, tzn. různým prvkům ${\displaystyle a,a'}$ musí přiřazovat různé prvky ${\displaystyle b,b'}$ – jinak by nebylo jednoznačně určeno, na co se má zobrazit prvek b v inverzním zobrazení.

Vlastnosti

Inverzní zobrazení je:

• prosté
• surjektivní („na“)
• ${\displaystyle f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x}$

Ke každému vzájemně jednoznačnému zobrazení existuje zobrazení inverzní. Jestliže k nějakému zobrazení f existuje inverzní zobrazení, říkáme, že f je invertibilní nebo že vykazuje invertibilitu.

Využití

Neexistenci snadno spočítatelné inverzní funkce využívají jednosměrné funkce a hašovací funkce.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu inverzní zobrazení na Wikimedia Commons

Portály: Matematika