Integrační faktor

V matematice je integrační faktor funkce, kterou je potřeba znásobit danou rovnici obsahující diferenciály, abychom dostali její řešení. Používá se nejen pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale i v diferenciálním a integrálním počtu funkcí více proměnných, kde můžeme neexaktní diferenciál vynásobením integračním faktorem převést na exaktní (který je pak možné integrovat pro získání skalárního pole). To je zvlášť užitečné v termodynamice. Například funkce ${\displaystyle 1/\Theta }$ (${\displaystyle \Theta }$je termodynamická teplota) je integračním faktorem veličiny ${\displaystyle Q}$ (teplo). Diferenciál ${\textstyle \delta Q}$ není ve stavových proměnných totální diferenciál, kdežto ${\textstyle {\textrm {d}}{\frac {Q}{\Theta }}}$ již ano. Veličina ${\displaystyle \int {\frac {\delta Q}{\Theta }}}$ je již stavovou funkcí a až na konstantu ${\displaystyle S_{0}}$ určuje veličinu entropie.

Použití při řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

Integrační faktory jsou užitečné pro řešení obyčejných diferenciálních rovnice, které lze vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}$

Základní myšlenkou je najít nějakou funkci ${\displaystyle M(x)}$ nazývanou „integrační faktor“, kterou můžeme znásobit naši diferenciální rovnici, abychom levou stranu dostali pod společnou derivaci. Pro kanonické lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedeného tvaru použijeme integrační faktor

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}}$

znásobení původní rovnice výrazem ${\displaystyle M(x)}$ dává

${\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}}$

a použitím součinového pravidla v opačném směru lze levou stranu vyjádřit jako jedinou derivaci podle ${\displaystyle x}$

${\displaystyle y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s})}$

Tuto skutečnost použijeme pro zjednodušení našeho výrazu na

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}}$

Pak obě strany integrujeme vzhledem k ${\displaystyle x}$, přičemž nejdříve přejmenujeme ${\displaystyle x}$ na ${\displaystyle t}$, takže dostaneme

${\displaystyle ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)\mathrm {d} s}\,\mathrm {d} t+C}$

Přesunutím exponenciálních funkcí na pravou stranu dostaneme obecné řešení naší obyčejné diferenciální rovnice:

${\displaystyle y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)\mathrm {d} s}\,\mathrm {d} t+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}}$

V případě homogenní diferenciální rovnice, u níž je ${\displaystyle Q(x)=0}$, dostáváme

${\displaystyle y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)\mathrm {d} s}}}}$

kde ${\displaystyle C}$ je konstanta.

Příklad

Řešte diferenciální rovnici

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$

Vidíme, že v tomto případě ${\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int P(x)\,\mathrm {d} x}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,\mathrm {d} x}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}$ (všimněte si, že nemusíme používat integrační konstantu – stačí nám libovolné řešení, nepotřebujeme obecné řešení)

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

Znásobením obou stran výrazem ${\displaystyle M(x)}$ dostaneme

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}$

Obrácením podílového pravidla dostaneme

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

nebo

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C\,}$

což dává

${\displaystyle y\left(x\right)=Cx^{2}.}$

Obecné použití

Integrační faktor je libovolný výraz, kterým násobíme diferenciální rovnici, abychom umožnili její integraci. Není omezen na lineární rovnice prvního řádu. Například u nelineární rovnice druhého řádu

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=Ay^{2/3}}$

lze jako integrační faktor použít ${\displaystyle {\tfrac {dy}{dt}}}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=Ay^{2/3}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}.}$

Pro integraci si všimněte, že obráceným použitím řetězového pravidla lze obě strany rovnice vyjádřit jako derivace:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).}$

odtud

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.}$

Tento tvar může být v některých případech užitečnější. Provedením separace proměnných dostaneme:

${\displaystyle \int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1};}$

toto je implicitní řešení, které zahrnuje neelementární integrál. Pro svou složitost pravděpodobně není příliš užitečné, ale jedná se o obecné řešení. Stejnou metodu lze použít pro výpočet periody jednoduchého kyvadla.

Reference

• MUNKHAMMAR, Joakim. Integrating Factor. MathWorld. Dostupné online..

Související články

• Variace konstant
• Příklady diferenciálních rovnic
• Součinové pravidlo
• Exaktní diferenciál