Integrální křivka

Integrální křivka v matematice je parametrická křivka, která reprezentuje nějaké řešení obyčejné diferenciální rovnice nebo soustavy rovnic. Pokud je diferenciální rovnice reprezentována jako vektorové pole nebo gradientní pole, pak odpovídající integrální křivky jsou tečnami k poli v každém bodě.

Tři integrální křivky pro gradientní pole odpovídající diferenciální rovnici dy / dx = x² − x − 1.

Podle povahy a interpretace diferenciálních rovnic nebo vektorového pole jsou integrální křivky známé pod jinými názvy. Ve fyzice jsou integrální křivky elektrického nebo magnetického pole známy jako silokřivky a integrální křivky pro rychlostní pole tekutiny jsou známy jako proudnice. V teorii dynamických systémů se integrální křivky pro diferenciální rovnice, které popisují systém, nazývají trajektorie nebo orbity.

Definice

Předpokládejme, že F je vektorové pole (tj. vektorová funkce s kartézskými souřadnicemi (F₁,F₂,...,F_n)) a x(t) je parametrická křivka s kartézskými souřadnicemi (x₁(t),x₂(t),...,x_n(t)). Pak x(t) je integrální křivka funkce F, jestliže je řešením následující autonomní soustavy obyčejných diferenciálních rovnic:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {\mathrm {d} x_{n}}{\mathrm {d} t}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$

Takovou soustavu rovnic lze zapsat jedinou vektorovou rovnicí

${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,}$

Tato rovnice přesně říká, že tečný vektor ke křivce v libovolném bodě x(t) křivky je právě vektor F(x(t)), tedy že křivka x(t) je v každém bodě tečnou k vektorovému poli F.

Jestliže dané vektorové pole je Lipschitzovsky spojité, pak z Picardovy–Lindelöfovy věty vyplývá, že pro malý čas existuje jednoznačný tok.

Zobecnění na diferencovatelné variety

Definice

Nechť M je Banachova varieta třídy C^r pro r ≥ 2. TM jako obvykle označuje totální prostor tečného fibrovaného prostoru M s jeho přirozenou projekcí π_M : TM → M danou vztahem

${\displaystyle \pi _{M}:(x,v)\mapsto x.}$

Vektorové pole na M je řez totálního prostoru tečného fibrovaného prostoru TM, tj. zobrazení, které každému bodu variety M přiřadí tečný vektor k M v tomto bodě. Nechť X je vektorové pole na M třídy C^r−1 a nechť p ∈ M. Integrální křivka pro X procházející p v čase t₀ je křivka α : J → M třídy C^r−1, jež je definovaná na otevřeném intervalu J reálné osy R obsahujícím t₀ a jež splňuje

${\displaystyle \alpha (t_{0})=p,}$

${\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)),\qquad \forall t\in J.}$

Vztah k obyčejné diferenciální rovnici

Výše uvedená definice integrální křivky α pro vektorové pole X, procházející p v čase t₀, znamená, že α je lokální řešení obyčejné diferenciální rovnice, resp. její počáteční úlohy

${\displaystyle \alpha (t_{0})=p,}$

${\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)).\,}$

Toto řešení je lokální v tom smyslu, že je definované pouze pro časy v J a ne nezbytně pro všechny t ≥ t₀ (natož pro t ≤ t₀). Problém důkazu existence a jednoznačnosti integrální křivky je tedy totéž jako hledání řešení obyčejné diferenciální rovnice (počáteční úlohy), a dokazování, že toto řešení je jednoznačné.

Poznámky k časové derivaci

V předchozím textu označuje α′(t) derivaci α v čase t, neboli „směr, kterým α ukazuje“ v čase t. Z abstraktnějšího úhlu pohledu to je Fréchetova derivace:

${\displaystyle (\mathrm {d} _{t}\alpha )(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.}$

Ve speciálním případě, kdy M je nějaká otevřená podmnožina Rⁿ, se jedná o známou derivaci

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),}$

kde α₁, ..., α_n jsou souřadnice α vzhledem k obvyklým souřadnicovým směrům.

Totéž lze formulovat ještě abstraktněji v pojmech indukovaných zobrazení. Všimněme si, že totální tečný fibrovaný prostor TJ k J je triviální fibrovaný prostor J × R a že existuje kanonický řez ι v tomto prostoru takový, že ι(t) = 1 (nebo přesněji (t, 1) ∈ ι) pro všechny t ∈ J. Křivka α zavádí zobrazení fibrovaných prostorů (bundle map) α_∗ : TJ → TM tak, že následující diagram komutuje:

Pak časová derivace α′ je složení α′ = α_∗ o ι a α′(t) je její hodnotou v některém bodě t ∈ J.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Integral curve na anglické Wikipedii.

• LANG, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.