Fanova rovina

Fanova rovina (pojmenovaná po italském matematikovi Gino Fanovi) je měřeno počtem prvků a přímek nejmenší projektivní rovina: obsahuje sedm bodů a sedm přímek.

Grafické znázornění Fanovy roviny, čáry odpovídají přímkám

Je možné ji zkonstruovat v rámci lineární algebry jako projektivní rovinu tělesa s dvěma prvky. Tedy její model je ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\mathbb {P} ^{2}}$, kde ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ je dvouprvkové těleso.

Formální zápis

Fanova rovina je dvojice ${\displaystyle [X,P]}$, kde X je množina 7 bodů a P je množina sedmi trojprvkových podmnožin X (přímek), splňující axiomy projektivní roviny. Fanovu rovinu lze vypsat např. takto:

${\displaystyle X=\{1,2,3,4,5,6,7\},\;P=\{\{1,2,5\},\{1,3,6\},\{1,4,7\},\{2,3,7\},\{2,4,6\},\{3,4,5\},\{5,6,7\}\}}$

Vlastnosti

• každé dva body určují jedinou přímku,
• každé dvě přímky se protínají v jediném bodě,
• pokud mají dvě přímky průnik v X, ${\displaystyle \{A,B,X\},\{C,D,X\}}$, pak přímky obsahující ${\displaystyle \{A,C\},\{B,D\}}$ mají opět společný průnik.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Fanova rovina na Wikimedia Commons