Epicykloida

Epicykloida je pojem z oboru geometrie, který označuje křivku vzniklou jako trasa pevně zvoleného bodu kružnice, která se kotálí kolem druhé kružnice. Pro její podobu jsou zásadními parametry poloměry oněch kružnic.

Vznik epicykloidy kotálením

Epicykloda s celým a epicykloida s racionálním poměrem poloměrů

Parametrické vyjádření

Označíme-li velikost pohyblivé křivky ${\displaystyle r}$ a velikost poloměru pevné křivky ${\displaystyle R=kr}$, pak při umístění počátku souřadné soustavy do středu pevné kružnice můžeme epicykloidu popsat rovnicemi

${\displaystyle x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left(\left(1+{\frac {R}{r}}\right)\theta \right)}$

${\displaystyle y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left(\left(1+{\frac {R}{r}}\right)\theta \right).}$

Podoba

Pokud je výše definované ${\displaystyle k}$ celé číslo, tedy se vnější kružnice po ${\displaystyle k}$ otočkách vrátí přesně do výchozího stavu, má epicykloida právě ${\displaystyle k}$ hrotů, kde nemá derivaci.

Je-li ${\displaystyle k}$ racionální číslo vyjádřitelné v základním tvaru jako ${\displaystyle k=p/q}$, pak má právě ${\displaystyle p}$ hrotů.

Pokud je ${\displaystyle k}$ iracionální číslo, pak se epicykloida dotkne obíhané kružnice pokaždé v jiném bodě a tyto body tvoří hustou množinu.

Zvláštními pojmenovanými případy epicykloidy jsou:

• kardioida neboli srdcovka, která má poloměry obou kružnic stejné.
• nefroida, která má poloměr vnitřní kružnice dvojnásobný oproti kružnici vnější.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu epicykloida na Wikimedia Commons
• Encyklopedické heslo Epicykloida v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích

Portály: Matematika