Kartézský součin

V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ je množina, označená ${\displaystyle X\times Y}$, která obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny ${\displaystyle X}$ a druhá položka je prvkem množiny ${\displaystyle Y}$. Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

Ilustrace kartézského součinu ${\displaystyle A\times B}$ množin ${\displaystyle A=\{x,y,z\}}$ a ${\displaystyle B=\{1,2,3\}}$

Například kartézským součinem osmiprvkové množiny A = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou B = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32prvková množina A × B = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.

Kartézský součin je pojmenován po francouzském matematikovi René Descartovi, z jehož formulací analytické geometrie je tento koncept odvozen.

Formální definice

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}}$

Například kartézským součinem množiny všech reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ se sebou samou vznikne rovina ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!}$, což je možno psát jako ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ („kartézská mocnina“). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí ${\displaystyle (x,y):x,y\in \mathbb {R} }$, viz kartézský souřadnicový systém.

Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina n-tic, takto:

${\displaystyle X_{1}\times X_{2}\times \ldots \times X_{n}=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in X_{i},1\leq i\leq n\}}$

Příkladem takového součinu je trojrozměrný euklidovský prostor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$.

Vlastnosti

Kartézský součin není komutativní ani asociativní operace a nemá neutrální prvek.

Kartézský součin konečných množin má mohutnost rovnou součinu mohutností jednotlivých množin. Obecně má kartézský součin mohutnost rovnou kardinálnímu součinu mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina nekonečná, je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.

Je-li kartézským součinem prázdná množina (${\displaystyle A\times B=\emptyset }$), pak je ${\displaystyle A=\emptyset }$ nebo ${\displaystyle B=\emptyset }$.

Nekonečný součin

Předchozí definice popisuje kartézský součin libovolného avšak konečného počtu množin. V některých oblastech matematiky se může hodit kartézský součin nekonečně mnoha množin. Ten lze definovat jako:

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ |\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\}}$

Zde ${\displaystyle I}$ je množina indexů, ${\displaystyle \{X_{i}:i\in I\}}$ je množina operandů (množin), indexovaná prvky ${\displaystyle I}$.

Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z ${\displaystyle I}$ do sjednocení všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots )}$ odpovídá takové funkci ${\displaystyle f}$, u které ${\displaystyle f(1)=x_{1},f(2)=x_{2},\ldots }$

Význam kartézského součinu

Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je nadmnožinou pro všechny binární relace (nebo obecněji pro n-ární relace). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu algebraických struktur. Vztahy jako uspořádání na množině ${\displaystyle X}$ jsou určité podmnožiny ${\displaystyle X\times X}$, operace na množině jsou určité podmnožiny ${\displaystyle X\times X\times X}$.

Direktní součin

Pro mnoho matematických struktur (např. algebraické, topologické atd.) se používá pojem direktní součin souboru několika struktur (i nekonečně mnoho) pro strukturu, jejíž nosnou množinou je jejich kartézský součin a struktura se na něj přenáší.

Například direktní součin monoidů ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0)}$ a kladných reálných čísel s násobením${\displaystyle (\mathbb {R} ,.,1)}$ je jejich kartézský součin vybavený binární operací ${\displaystyle (z_{1},r_{1})\circ (z_{2},r_{2})=(z_{1}+z_{2},r_{1}.r_{2})}$ s neutrálním prvkem ${\displaystyle (0,1)}$.

Související články

• Kardinální aritmetika
• Binární relace
• Uspořádání
• Zobrazení
• Kartézská mocnina

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kartézský součin na Wikimedia Commons

Portály: Matematika