Diferencovatelnost

Diferencovatelnost je v matematice vlastnost reálných funkcí anebo obecnějších geometrických struktur. Diferencovatelná funkce v bodě je v matematické analýze taková funkce, která má v určitém bodě diferenciál. Obdobně lze definovat diferencovatelnost na intervalu, případně na celém definičním oboru.

Pro porozumění tomuto článku je nutné znát pojem derivace a diferenciál.

Příklad diferencovatelné funkce z R do R, jejího diferenciálu v bodě a její tečny

Neformální úvod

Funkce je diferencovatelná, pokud se dá na okolí každého bodu aproximovat lineární funkcí, odpovídající tečné přímce nebo rovině. Znamená to, že funkce je spojitá, nemá "hroty" a v žádném směru neroste nekonečně rychle. Funkce jedné reálné proměnné jsou diferencovatelné, pokud mají v daném bodě konečnou derivaci. Ilustrativní příklady:

• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,~f(x)=|x|}$ není diferencovatelná v nule, neboť tam má "hrot".
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,~f(x)={\sqrt[{3}]{x}}}$. Tato funkce není diferencovatelná v bodě ${\displaystyle x=0}$. Spojitá je všude v ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ale v nule nekonečně rychle roste.
• ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y&{\text{pokud }}y\neq x\\0&{\text{pokud }}y=x\end{cases}}}$ má obě parciální derivace v (0, 0) (a dokonce i všechny derivace ve směru) a je v tomto bodě spojitá, ale ne diferencovatelná, neboť nemá tečnou rovinu (rovina {z=y} neaproximuje funkci dostatečně v bodech x=y).

Formální definice diferencovatelnosti funkce

Funkce f je diferencovatelná na množině M, pokud pro každé ${\displaystyle x\in M}$ existuje její diferenciál ${\displaystyle df(x)}$. Funkce je spojitě diferencovatelná, pokud se diferenciál mění bod od bodu spojitě. Funkce f definovaná na otevřené množině U je k krát spojitě diferencovatelná, pokud má všechny parciální derivace k-tého řádu spojité. Značíme ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$.

Popis diferencovatelných funkcí

Funkce jedné reálné proměnné

Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ je v bodě ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ diferencovatelná právě tehdy, existuje-li konečná derivace funkce ${\displaystyle f\,}$ v bodě ${\displaystyle c\,}$. Konečnost derivace je důležitá, neboť například funkce signum má v nule nekonečnou derivaci, ale ne diferenciál.

Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ je na diferencovatelná na intervalu ${\displaystyle \mathrm {I} }$ s krajními body ${\displaystyle a<b}$, jestliže jsou splněny tyto tři podmínky:

1. ${\displaystyle \forall x\in \left(a,b\right):f'\left(x\right)\in \mathbb {R} }$
2. ${\displaystyle a\in \mathrm {I} ,\Rightarrow f'_{+}\left(a\right)\in \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle b\in \mathrm {I} ,\Rightarrow f'_{-}\left(b\right)\in \mathbb {R} }$

Tedy funkce na jednorozměrném intervalu je diferencovatelná, pokud má konečnou derivaci ve všech vnitřních bodech i konečné jednostranné derivace v obou koncových bodech intervalu.

Funkce f je spojitě diferencovatelná, pokud její derivace f' je spojitá.

Někdy se diferencovatelnost uvažuje jen na otevřených intervalech, a pak v definici není druhá a třetí podmínka.

Funkce více reálných proměnných

Postačující podmínka pro existenci diferenciálu funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ v bodě c je existence a spojitost parciálních derivací f na okolí c. Diferenciál se obvykle definuje na vnitřních bodech definičního oboru. Pokud existují na otevřené množině spojité parciální derivace f podle všech proměnných, je f spojitě diferencovatelná.

Funkce na hladké varietě

Funkce f definovaná na hladké varietě M je diferencovatelná, pokud pro každou mapu ${\displaystyle g:M\to U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ je složení ${\displaystyle f\circ g^{-1}:U\to \mathbb {R} }$ diferencovatelná.

Zobrazení mezi vícerozměrnými prostory

Zobrazení ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$ je diferencovatelné, pokud je diferencovatelná každá jeho složka. Podobně pro zobrazení mezi libovolnými hladkými varietami.

Vlastnosti diferencovatelných funkcí

• Funkce, která je diferencovatelná v bodě, je v tomto bodě spojitá. Stejně pro libovolný interval.
• Součet, rozdíl, součin diferencovatelných funkcí je též diferencovatelný. Podíl f/g, kde g je nenulová, je diferencovatelný.
• Složení diferencovatelných zobrazení je diferencovatelné.
• Diferencovatelnou funkci lze aproximovat na okolí vnitřního bodu definičního oboru Taylorovým polynomem.
• Diferencovatelná funkce má všechny derivace ve směru a tato derivace závisí na směru lineárně.

Příklady

Weierstrassova funkce příklad spojité funkce, která není diferencovatelná

• Exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce jsou diferencovatelné na celém definičním oboru s výjimkou případně množiny izolovaných bodů.
• Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)={\begin{cases}e^{(-1/x)}&{\text{pokud }}x>0,\\0&{\text{pokud }}x\leq 0,\end{cases}}}$ není analytickou, a přesto je diferencovatelná na celém ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Funkce definovaná předpisem ${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{pokud }}x\neq 0\\0&{\text{pokud }}x=0\end{cases}}}$ je diferencovatelná v bodě 0, ale není spojitě diferencovatelná, neboť její derivace není spojitá.^{[p 1]}
• Weierstrassova funkce přestože je spojitá na celém ${\displaystyle \mathbb {R} }$ není v žádném bodě definičního oboru diferencovatelná.

Hladká funkce

Související informace naleznete také v článku Hladká funkce.

Funkce f se nazve hladká na otevřené množině U, pokud má spojité derivace všech řádů (u funkce více proměnných parciální derivace). Značíme ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)=\cap _{k}C^{k}(U)}$.

Holomorfní funkce

Související informace naleznete také v článku holomorfní funkce.

Obdobou diferencovatelné funkce v oboru komplexních čísel je holomorfní funkce.

Další významy

• Diferencovatelná struktura - atlas hladké variety.
• Diferenciální forma - hladká sekce kotečného bundlu variety
• Diferencovatelný bundl - bundl, ve kterém jsou přechodové funkce diferencovatelné

Poznámky

1. Derivace této funkce má tvar :${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos(1/x)}}+2x\sin {(1/x)}&{\text{pokud }}x\neq 0,\\0&{\text{pokud }}x=0.\end{cases}}}$ a tato zjevně nemá limitu pro x = 0.

Související články

• Diferenciál
• Derivace

Reference

• Kopáček, J.: Matematická analýza pro fyziky , I., II. díl, Matfyzpress
• Fučík, S., Milota, J.: Matematická analýza II, Diferenciální počet funkcí více proměnných, skripta MFF UK, Praha, 1980

Portály: Matematika