Dvojková soustava

Na tento článek je přesměrováno heslo binární. Další významy jsou uvedeny na stránce Binární (rozcestník).

Dvojková soustava (binární soustava, dyadická soustava^[1]) je číselná soustava, která používá pouze dvě číslice: 0 a 1. Dvojková soustava je poziční číselná soustava se základem 2, každá číslice tedy odpovídá n-té mocnině čísla dvě, kde n je pozice dané číslice v zapsaném čísle. Takto zapsané číslo se nazývá binární číslo.

Číselné soustavy
Indicko-arabská číselná soustava
západoarabské východoarabské bengálské gurmuské indické sinhálské tamilské balijské barmské dzongkské javánské khmerské laoské mongolské thajské
Východní Asie
čínské hokkienské japonské korejské vietnamské
Abecední
abdžadové arménské árjabhata cyrilice Ge'ez (etiopské) gruzínské řecké hebrejské římské
bývalé
egejské attické babylonské bráhmí egyptské etruské inuitské kharóšthí mayské muiské Kipu
poziční číselná soustava podle základu
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 36 60
nestandardní poziční číselné soustavy
bijektivní numerace (1) znaménkové reprezentace (balancovaná trojková soustava) faktoriální záporné komplexní číselná soustava nečíselné reprezentace (φ) smíšené asymetrické číselné soustavy

Dvojková soustava se používá ve všech moderních digitálních počítačích, neboť její dvě číslice (0 a 1) odpovídají dvěma jednoduše rozdělitelným stavům elektrického obvodu (vypnuto a zapnuto), popřípadě nepravdivosti či pravdivosti výroku.

Výpočet hodnoty binárního čísla

Na příkladu

Například číslo zapsané v dvojkové soustavě 11010110 si můžeme přepsat do tabulky s mocninami čísla dvě odpovídajícími pozicím jednotlivých číslic:

binární číslo	1	1	0	1	0	1	1	0
pozice číslice	7	6	5	4	3	2	1	0
mocniny čísla dvě	27	26	25	24	23	22	21	20
hodnoty mocnin	128	64	32	16	8	4	2	1
krát binární číslice	× 1	× 1	× 0	× 1	× 0	× 1	× 1	× 0
výsledky součinu	128	64	0	16	0	4	2	0

Pro výpočet hodnoty čísla zapsaného v pozičních soustavách se násobí každá číslice odpovídající mocninou základu. Pro převod z dvojkové soustavy je výpočet jednodušší, násobí se jen jedničkou nebo nulou, tedy buď se mocnina započítá (např. 1 × 2² = 2²) nebo nezapočítá (0 × 2³ = 0).

Stačí tedy pouze započítat ty mocniny, které odpovídají číslici 1, v příkladu: 128+64+16+4+2=214. Binární číslo 11010110 má tedy hodnotu odpovídající desítkovému číslu 214.

Převod desítkového čísla na binární získáme opakovaným dělením desítkového čísla dvojkou a zapisováním zbytků dělení (0 nebo 1) zprava doleva:

pořadí dělení	7.	6.	5.	4.	3.	2.	1.	číslo
výsledky dělení	1	3	6	13	26	53	107	214
rozklad na součin 2	2 × 0 + 1	2 × 1 + 1	2 × 3	2 × 6 + 1	2 × 13	2 × 26 + 1	2 × 53 + 1	2 × 107
zbytky dělení	1	1	0	1	0	1	1	0

Vezmeme číslo 214, vydělíme jej dvěma, zapíšeme zbytek po dělení (0) a výsledek (107). Vezmeme výsledek (107), znovu vydělíme dvěma, zapíšeme zbytek (1) a výsledek (53). Takto pokračujeme, dokud nebude výsledek dělení 1, kterou zapíšeme jako zbytek (7. dělení výše) – to je nejvyšší platná číslice daného binárního čísla.

Matematický výpočet

Výpočet hodnoty binárního čísla, které se skládá z ${\displaystyle k+1}$ číslic ${\displaystyle x_{0}x_{1}\ldots x_{k}}$, každé o hodnotě buď 0, nebo 1, lze provést polynomem:

${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{k}{x_{i}}\cdot 2^{k-i}}$

Tedy výše uvedený příklad dvojkového čísla 11010110 můžeme vypočítat následovně:

${\displaystyle \ x_{0}=1;x_{1}=1;x_{2}=0;x_{3}=1;x_{4}=0;x_{5}=1;x_{6}=1;x_{7}=0}$

${\displaystyle (11010110)_{2}=\sum _{i=0}^{7}{x_{i}}\cdot 2^{7-i}=x_{0}\cdot 2^{7}+\ x_{1}\cdot 2^{6}+\ x_{2}\cdot 2^{5}+\ x_{3}\cdot 2^{4}+\ x_{4}\cdot 2^{3}+\ x_{5}\cdot 2^{2}+\ x_{6}\cdot 2^{1}+\ x_{7}\cdot 2^{0}=}$

${\displaystyle =1\cdot 2^{7}+\ 1\cdot 2^{6}+\ 0\cdot 2^{5}+\ 1\cdot 2^{4}+\ 0\cdot 2^{3}+\ 1\cdot 2^{2}+\ 1\cdot 2^{1}+\ 0\cdot 2^{0}=128\ +\ 64\ +\ 16\ +\ 4\ +\ 2\ =(214)_{10}}$

Pro převod mezi soustavami se používají tyto metody:

• Substituční metoda – součet členů polynomu, způsob použitý výše
• Metoda dělení základem – binární číslo tvoří zapsané zbytky opakovaného dělením desítkového čísla dvojkou
• Metoda násobení základem – pro převod zlomků (desetinných čísel) se místo dělení použije násobení

Kódování záporných čísel

Pro ukládání, přenos a zpracování záporných binárních čísel v počítači existuje mnoho možností, nejčastěji se používá kódování pomocí dvojkového doplňku.

Přímý kód

První možný způsob je vyčlenění prvního bitu jako znaménkového bitu. Pokud například binární číslo 00000001 vyjadřuje jedničku, pak 10000001 označuje −1.

Tento způsob ale komplikuje algoritmy pro praktické počítání – pro sčítání a odčítání jsou potřeba odlišné algoritmy a nejprve je vždy třeba testovat znaménkový bit a podle výsledku provést sčítání nebo odčítání. Další nevýhodou je, že existují dvě reprezentace čísla nula – kladná nula a záporná nula. Proto byl později pro záznam záporných čísel zaveden doplňkový kód.

Doplňkový kód

Související informace naleznete také v článku Dvojkový doplněk.

Při kódování v doplňkovém kódu je záporné číslo zaznamenáno jako binární negace (záměna všech 0 za 1 a 1 za 0) původního čísla zvětšená o 1. Podle úvodního bitu lze v tomto kódu opět rozpoznat kladná a záporná čísla. Využívá se faktu, že při odečtení čísla 00000001 od čísla 00000000 dojde k přetečení, a výsledkem je číslo 11111111. Čísla ve dvojkovém doplňku můžeme chápat také tak, že nejvyšší bit má místo váhy 2^k váhu −2^k.

V tomto kódu existuje jen jediná reprezentace čísla nula, pro sčítání a odečítání lze použít stejnou sčítačku (operace probíhají stejně, liší se pouze význam kódu). Také je zachována komutativita, tzn. že výsledek součtu libovolného počtu čísel v doplňkovém kódu je stejný bez ohledu na jejich pořadí, i když dochází k přetečení.

Příklad: pokud 00001101 je binární vyjádření čísla 13, pak −13 se vypočte jako NOT(00001101) + 1 = 11110010 + 1 = 11110011.

Pokud se sečte takto vyjádřené záporné číslo s jiným záporným nebo větším kladným číslem, dojde k přetečení rozsahu. Kód je ale zvolen tak, že po odříznutí přetečeného bitu dostáváme správný výsledek.

Příklad: ${\displaystyle 20_{10}-13_{10}=20_{10}+(-13)_{10}=00010100_{2}[phone]_{2}=100000111_{2}=7_{10}}$ (po odříznutí přeteklého devátého bitu).

Poznámka: všechny příklady jsou pro jednoduchost provedeny na číslech o rozsahu 8 bitů (1 byte).

Inverzní kód

Podrobnější informace naleznete v článku Jedničkový doplněk.

Vedle dvou výše uvedených metod existuje ještě jakýsi mezikrok – kladná čísla se vyjadřují normálním způsobem, záporná čísla se vyjadřují binární negací čísla (a podle nejvyššího bitu lze opět poznat znaménko). Tento způsob se označuje jako inverzní kód či jedničkový doplněk. Například jestliže číslo 6 v osmibitovém vyjádření je 00000110, číslo −6 se vyjádří kódem 11111001.

Tento kód má stále dvě reprezentace čísla nula.

Kód s posunutou nulou

Podrobnější informace naleznete v článku Aditivní kódování.

Poslední používanou možností je k číslu připočítat nějakou známou konstantu, což se nazývá kódování s posunutou nulou nebo aditivní kódování. Například pro osmibitová čísla, která mohou reprezentovat 256 různých čísel, lze použít posun −127: pak budeme 00000000 považovat za −127, nulu vyjádříme jako 01111111 a symbol 11111111 je 128.

Nevýhodou tohoto zápisu je, že kladná čísla se liší od bezznaménkové reprezentace čísel. Operace sčítání nepotřebuje úpravy, ale pro operaci násobení je nutné od operandů odečíst známou konstantu.

Tento kód se běžně používá pro exponent v reprezentaci desetinných čísel pomocí pohyblivé řádové čárky.

Srovnání číselných soustav

Číselná soustava (základ)
10	2	3	4	5	6	7	8	9	12	16	20	36
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
4	100	11	10	4	4	4	4	4	4	4	4	4
5	101	12	11	10	5	5	5	5	5	5	5	5
6	110	20	12	11	10	6	6	6	6	6	6	6
7	111	21	13	12	11	10	7	7	7	7	7	7
8	1000	22	20	13	12	11	10	8	8	8	8	8
9	1001	100	21	14	13	12	11	10	9	9	9	9
10	1010	101	22	20	14	13	12	11	A	A	A	A
100	1100100	10201	1210	400	244	202	144	121	84	64	50	2S
1000	1111101000	1101001	33220	13000	4344	2626	1750	1331	6B4	3E8	2A0	RS

Odkazy

Reference

1. POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 10. vyd. Praha: PROMETHEUS, 2022. ISBN 978-80-7196-458-2.

Související články

• BCD
• Binární kód
• Binární soubor
• Brownův kód
• Číselná soustava
• Grayův kód
• kód 1 z n
• Osmičková soustava
• Šestnáctková soustava

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu dvojková soustava na Wikimedia Commons
• Výukový kurs Číselné soustavy/Dvojková soustava ve Wikiverzitě

Portály: Matematika