Čebyševova nerovnost pro konečné součty

Čebyševova nerovnost pro konečné součty je matematická věta pojmenovaná podle Pafnutije Lvoviče Čebyševa, která zní:

Nechť jsou dána reálná čísla ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq ...\leq x_{n}}$ a ${\displaystyle y_{1}\leq y_{2}\leq ...\leq y_{n}}$.

Pak platí

${\displaystyle n(x_{1}y_{n}+x_{2}y_{n-1}+...+x_{n}y_{1})\leq (x_{1}+x_{2}+...+x_{n})(y_{1}+y_{2}+...+y_{n})\leq n(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}),}$

kde rovnost nastává, právě když ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=...=x_{n}}$ nebo ${\displaystyle y_{1}=y_{2}=...=y_{n}}$.

Důkaz

Získáme součtem n permutačních nerovností, v nichž jako permutace použijeme postupně

1, 2, 3, …, n,

2, 3, 4, …, 1,

3, 4, 5, …, 2,

n, 1, 2, …, n-1

Související články

• Čebyševova nerovnost

Portály: Matematika