Snellův zákon

Snellův zákon patří k základním zákonům popisujícím šíření vlnění, které přechází (tzv. lomem) přes rozhraní z jednoho prostředí do jiného prostředí, kde se skokově mění optické vlastnosti prostředí. Např. voda – vzduch, sklo – vzduch.

Je důležitou součástí geometrické optiky, kde popisuje lom paprsku světla a obecněji elektromagnetického záření na rovinném rozhraní.

Zákon v 10. století objevil arabský matematik Ibn Sahl. Nese jméno jeho znovuobjevitele, nizozemského matematika Willebrorda Snellia.

Zjednodušenou formulací, dobře odpovídající realitě, je populární rčení "Hůl do vody ponořená, zdá se býti zalomená".^[1]

Uvažujme dvě různá prostředí, jejichž rozhraní je rovinné. Jsou-li indexy lomu těchto dvou prostředí n₁ resp. n₂ a označíme-li úhly dopadajícího resp. lomeného svazku α₁ resp. α₂ (měřeno ke kolmici rozhraní), pak podle Snellova zákona platí

n_{1}\sin \alpha _{1}=n_{2}\sin \alpha _{2}

,

nebo také v jiném tvaru (v₁ a v₂ jsou rychlosti šíření vlnění v daném prostředí)

{\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}

.

Úhly se vždy měří od normály, tj. při kolmém dopadu je $\alpha _{1}=\alpha _{2}=0$ . Paprsky se šíří vždy přímočaře.

Odvození

Odvození Snellova zákona lze provést pomocí dopadu rovinné vlny na rovinné rozhraní dvou prostředí.

V místě dopadajícího paprsku vlnění vztyčíme kolmici, tzv. kolmici dopadu (obecně jde o normálu k ploše rozhraní). Úhel mezi kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem se nazývá úhel dopadu. Rovina, která je určena kolmicí dopadu a paprskem dopadajícího vlnění, se nazývá rovina dopadu.

Z obrázku je vidět, že vlnění, které dopadá z prostředí 1 na rozhraní s prostředím 2 pod úhlem dopadu $\alpha _{1}$ , dospěje nejdříve do bodu $A$ a postupně do dalších bodů až po bod $C$ . Tyto body se podle Huygensova principu stávají zdroji elementárních vlnění, které se šíří do prostředí 2. Dochází k lomu vlnění. Vlnění, které se v prostředí 1 šířilo fázovou rychlostí $v_{1}$ , se bude v prostředí 2 šířit fázovou rychlostí $v_{2}$ , která je obecně různá od rychlosti $v_{1}$ a závisí na vlastnostech prostředí, v němž se vlnění šíří. Čelo dopadající rovinné vlny (tedy vlnoplocha) je představováno úsečkou $AB$ , čelo lomené vlny je představováno úsečkou $CD$ . Pro poměr sinů úhlu dopadu $\alpha _{1}$ a lomu $\alpha _{2}$ platí podle obrázku vztah

{\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}}}={\frac {\frac {|BC|}{|AC|}}{\frac {|AD|}{|AC|}}}={\frac {|BC|}{|AD|}}={\frac {v_{1}t}{v_{2}t}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}=n_{21}

,

kde $|...|$ označuje délku úsečky, $v_{1}$ a $v_{2}$ jsou fázové rychlosti vlnění v prostředí 1 a 2, $v_{1}t$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí v prostředí 1 za čas $t$ a $v_{2}t$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí za čas $t$ v prostředí 2, $n_{1}$ a $n_{2}$ jsou absolutní indexy lomu v prostředí 1 a 2 a $n_{21}$ je relativní index lomu.

Úhel $\alpha _{2}$ se nazývá úhel lomu. Rovina určená kolmicí dopadu a lomeným paprskem se nazývá rovina lomu. Podle Huygensova principu splývá rovina lomu s rovinou dopadu.

Slovně lze Snellův zákon formulovat takto:

Poměr sinů úhlu dopadu a lomu je pro určitá dvě prostředí stálý a rovný poměru velikosti rychlosti vlnění v jednotlivých prostředích.

Snellův zákon platí nejen pro rovinné vlnění, ale v obecném případě pro libovolné vlnění dopadající na rozhraní libovolného tvaru.

Ze Snellova zákona plyne, vyjádřeno slovy, že:

Při šíření záření z prostředí opticky řidšího do opticky hustšího prostředí se paprsky lámou směrem ke kolmici (tzv. lom ke kolmici).
Při šíření záření z prostředí opticky hustšího do opticky řidšího prostředí se paprsky lámou směrem od kolmice (tzv. lom od kolmice).

Opticky hustším, resp. řidším prostředím je míněno prostředí s vyšším, resp. nižším indexem lomu.

Pokud fázová rychlost závisí na frekvenci vlnění (viz disperze (vlnění)), pak pro složené vlnění dochází při lomu k závislosti úhlu lomu na frekvenci. To se projevuje např. v optice rozkladem světla na jednotlivé barevné složky (v přírodě se tento jev projevuje např. vznikem duhy).

Totální odraz

Šíří-li se paprsky z opticky hustšího prostředí (tedy v případě lomu od kolmice) může nastat, že úhel lomu je roven pravému úhlu, tzn. $\alpha _{2}={\frac {\pi }{2}}$ . V takovém případě je $\sin \alpha _{2}=1$ , a zákon lomu má tvar

\sin \alpha _{\rm {m}}=\sin \alpha _{1}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}

,

kde $\alpha _{\rm {m}}$ označuje tzv. mezní úhel. Mezní úhel je největší úhel dopadu, při kterém ještě nastává lom vlnění. Je-li úhel dopadu větší než mezní úhel, tzn. $\alpha _{1}>\alpha _{\rm {m}}$ , dochází k tzv. totálnímu (úplnému) odrazu, při kterém se vlnění do druhého prostředí vůbec nedostane a odráží se zpět do prostředí původního.