různé navzájem související matematické koncepty From Wikipedia, the free encyclopedia
Zobrazení je v matematice speciálním případem binární relace, u které má každý vzor nejvýše jeden obraz. Je to předpis , který prvkům množiny přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny . Přesněji mluvíme o zobrazení z množiny do množiny . Pokud , mluvíme o zobrazení na množině. Ve speciálním případě, když je libovolná číselná množina, zobrazení nazýváme funkcí. Je-li prvku množiny přiřazen prvek množiny , pak říkáme, že prvek je vzorem a prvek je obrazem.
Zobrazení, které přiřazuje vybarveným geometrickým tvarům barvu jejich výplně.
Zobrazení z množiny do množiny je binární relace, která ke každému prvku množiny přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny tak, že .
Množina prvků , pro které existuje prvek tak, že , se nazývá definičním oborem zobrazení .
Množina prvků , pro které existuje alespoň jeden prvek tak, že , se nazývá oborem hodnot zobrazení .
V teorii množin se tedy zobrazení definuje jako binární relace splňující podmínku existence a jednoznačnosti:
tak, že .
Typy zobrazení
V matematice jsou injekce, surjekce a bijekce třídy zobrazení, které se liší způsobem, jakým jsou vzory a obrazy vzájemně mapovány:
Zobrazení je injektivní (zobrazení prosté), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován nejvýše jedním prvkem definičního oboru, nebo ekvivalentně, pokud jsou různé prvky definičního oboru mapovány na různé prvky oboru hodnot:
platí nebo platí .
Zobrazení je surjektivní (zobrazení na), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován alespoň jedním prvkem definičního oboru:
tak, že .
Zobrazení je bijektivní, tj. vzájemně jednoznačné (zobrazení prosté a na), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován právě jedním prvkem definičního oboru:
tak, že .
Pro obecné zobrazení (zobrazení do) platí:
tak, že .
Bijektivní zobrazení je jak injektivní, tak surjektivní. Injektivní zobrazení nemusí být surjektivní a surjektivní zobrazení nemusí být injektivní. Čtyři možné kombinace injektivních a surjektivních zobrazení jsou znázorněny na uvedeném obrázku. Bijektivní zobrazení se užívá k porovnávání mohutností nekonečných množin.
Prosté zobrazení
Zobrazení z množiny do množiny se nazývá prosté (injektivní), právě když každé dva různé vzory mají různé obrazy :
.
Inverzní zobrazení
Je-li prosté zobrazení z množiny do množiny , pak zobrazení z množiny do množiny , které každému přiřazuje právě jeden prvek , pro nějž , se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení . Jeho definičním oborem je tedy a platí .
Inverzní zobrazení je injektivní a surjektivní, tj. bijektivní. Ke každému bijektivnímu, tj. vzájemně jednoznačnému zobrazení lze nalézt zobrazení inverzní. Jestliže k nějakému zobrazení existuje inverzní zobrazení, říkáme, že je invertibilní nebo že vykazuje invertibilitu.
Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení do množiny reálných či komplexních čísel.
Mějme množiny a . Můžeme například definovat zobrazení jako
Oborem hodnot je tedy množina . Vzorem prvku jsou prvky . Jeden prvek v tedy může mít více než jeden vzor v . Ale každý prvek se zobrazí na právě jeden prvek v .
Na obrázku jsou uvedeny příklady mapování :
Na a) je příklad, kdy se nejedná o zobrazení.
Na b) je příklad prostého zobrazení množiny do množiny .
Na c) je příklad vzájemně jednoznačného zobrazení množiny na množinu .
Na d) je příklad zobrazení, které není prosté.
Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název mnohoznačné zobrazení je matematický oxymóron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Mnohoznačné zobrazení