From Wikipedia, the free encyclopedia
Potenční množina množiny (značí se nebo též ), podle některých autorů též booleán [1], je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny .
Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.
Každá podmnožina potenční množiny se nazývá systém množin na množině X.
Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.
Potenční množina množiny obsahuje jako svůj prvek, tj.
Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou“ . Toto uspořádání není lineární - například množiny a z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.
Axiom teorie množin vyžaduje, aby soubor podmnožin nějaké množiny byl množinou, protože ale model nemusí obsahovat všechny možné podmnožiny, liší se v různých modelech i potenční množina nějaké množiny, a to i velikostí, a dokonce mohou mít při pohledu zvenku stejnou mohutnost (v modelu plati podle Cantorovy věty , což ovšem pouze znamená, že uvnitř modelu neexistuje mezi oběma množinami bijekce, tj. zmíněná bijekce není součástí uvažovaného modelu). Příkladem takového "omezeného" modelu je Gödelova konstrukce konstruovatelných množin.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.